OpenCV 完整例程73. 二维连续傅里叶变换

Posted 2022-02-09 小白YouCans

【OpenCV 完整例程】73. 二维连续傅里叶变换

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2.1 二维连续傅里叶变换

设 $f(t,z)$ 是二维连续变量 $t,z$ 的连续函数，则其二维连续傅里叶变换和逆变换为：

$$\begin{array}{rl}F(\mu ,\nu )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t,z)e^{-j2\pi (\mu t+\nu z)}dtdz\\ f(t,z)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\mu ,\nu )e^{j2\pi (\mu t+\nu z)}d\mu d\nu \end{array}$$
对于图像处理，式中的 $t,z$ 表示连续空间变量， $\mu ,\nu$ 表示连续频率变量。

例程 8.7：二维连续函数的傅里叶变换（二维盒式函数）

以盒式函数为例，其傅里叶变换为：

$$\begin{array}{rl}F(\mu ,\nu )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t,z)e^{-j2\pi (\mu t+\nu z)}dtdz\\ & ={\int }_{-T/2}^{+T/2}{\int }_{-Z/2}^{+Z/2}A{e}^{-j2\pi (\mu t+\nu z)}dtdz\\ & =ATZ[\frac{sin(\pi \mu T)}{\pi \mu T}][\frac{sin(\pi \nu Z)}{\pi \nu Z}]\end{array}$$

    # 8.7：二维连续函数的傅里叶变换（二维盒式函数）
    # 二维盒式函数 (2D-Box_function)
    t = np.arange(-5, 5, 0.1)  # start, end, step
    z = np.arange(-5, 5, 0.1)
    height, width = len(t), len(z)
    tt, zz = np.meshgrid(t, z)  # 将一维数组 xnew, ynew 转换为网格点集（二维数组）

    f = np.zeros([len(t), len(z)])  # 初始化，置零
    f[30:70, 30:70] = 1  # 二维盒式函数

    fu = np.sinc(t)
    fv = np.sinc(z)
    fuv = np.outer(np.sinc(t), np.sinc(z))  # 由公式计算连续傅里叶变换
    print(fu.shape, fv.shape, fuv.shape)

    fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
    ax1 = plt.subplot(121, projection='3d')
    ax1.set_title("2D-Box function")
    ax1.plot_wireframe(tt, zz, f, rstride=2, cstride=2, linewidth=0.5, color='c')
    ax1.set_xticks([]), ax1.set_yticks([]), ax1.set_zticks([])
    ax2 = plt.subplot(122, projection='3d')
    ax2.set_title("2D-Fourier transform")
    ax2.plot_wireframe(tt, zz, fuv, rstride=2, cstride=2, linewidth=0.5, color='c')
    ax2.set_xticks([]), ax2.set_yticks([]), ax2.set_zticks([])
    plt.show()

例程 8.8：二维连续函数的傅里叶变换（不同参数的盒式函数）

    # 8.8：二维连续函数的傅里叶变换（不同参数的盒式函数）
    # 二维盒式函数 (2D-Box_function)
    height, width = 128, 128
    m = int((height - 1) / 2)
    n = int((width - 1) / 2)

    fig = plt.figure(figsize=(9, 6))
    T = [5, 10, 20]
    print(len(T))
    for i in range(len(T)):
        f = np.zeros([height, width])  # 初始化，置零
        f[m-T[i]:m+T[i], n-T[i]:n+T[i]] = 1  # 不同尺寸的盒式函数
        fft = np.fft.fft2(f)
        shift_fft = np.fft.fftshift(fft)
        amp = np.log(1 + np.abs(shift_fft))

        plt.subplot(2,len(T),i+1), plt.xticks([]), plt.yticks([])
        plt.imshow(f, "gray"), plt.title("Box Filter (T=)".format(T[i]))
        #
        plt.subplot(2,len(T),len(T)+i+1), plt.xticks([]), plt.yticks([])
        plt.imshow(amp, "gray"), plt.title("FFT Spectrum")

    plt.tight_layout()
    plt.show()

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（本节完）

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