OpenCV 完整例程76. OpenCV 实现图像傅里叶变换

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了OpenCV 完整例程76. OpenCV 实现图像傅里叶变换相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

【OpenCV 完整例程】76. OpenCV 实现图像傅里叶变换

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2.3 二维离散傅里叶变换（DFT）

对于二维图像处理，通常使用 x , y x, y x,y 表示离散的空间域坐标变量，用 u , v u,v u,v 表示离散的频率域变量。二维离散傅里叶变换（DFT）和反变换（IDFT）为：

F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x / M + v y / N ) f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x / M + v y / N ) \\beginaligned F(u,v) &= \\sum_x=0^M-1 \\sum_y=0^N-1 f(x,y) e^-j 2\\pi (ux/M+vy/N)\\\\ f(x,y) &= \\frac1MN \\sum_u=0^M-1 \\sum_v=0^N-1 F(u,v) e^j 2\\pi (ux/M+vy/N) \\endaligned F(u,v)f(x,y)​=x=0∑M−1​y=0∑N−1​f(x,y)e−j2π(ux/M+vy/N)=MN1​u=0∑M−1​v=0∑N−1​F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)​
二维离散傅里叶变换也可以用极坐标表示：
F ( u , v ) = R ( u , v ) + j I ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ e j ϕ ( u , v ) F(u,v) = R(u,v) + j I(u,v) = |F(u,v)| e^j \\phi (u,v) F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=∣F(u,v)∣ejϕ(u,v)
傅里叶频谱（Fourier spectrum）为：
∣ F ( u , v ) ∣ = [ R 2 ( u , v ) + I 2 ( u , v ) ] 1 / 2 |F(u,v)| = [R^2(u,v) + I^2(u,v)]^1/2 ∣F(u,v)∣=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2
傅里叶相位谱（Fourier phase spectrum）为：
ϕ ( u , v ) = a r c t a n [ I ( u , v ) / R ( u , v ) ] \\phi (u,v) = arctan[I(u,v)/R(u,v)] ϕ(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]
傅里叶功率谱（Fourier power spectrum）为：
P ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ 2 = R 2 ( u , v ) + I 2 ( u , v ) P(u,v) = |F(u,v)|^2 = R^2(u,v) + I^2(u,v) P(u,v)=∣F(u,v)∣2=R2(u,v)+I2(u,v)

空间取样和频率间隔是相互对应的，频率域所对应的离散变量间的间隔为： Δ u = 1 / M Δ T ， Δ v = 1 / N Δ Z \\Delta u = 1/M \\Delta T，\\Delta v = 1/N \\Delta Z Δu=1/MΔT，Δv=1/NΔZ。即：频域中样本之间的间隔，与空间样本之间的间隔及样本数量的乘积成反比。

空间域滤波器和频率域滤波器也是相互对应的，二维卷积定理是在空间域和频率域滤波之间建立等价关系的纽带：
( f ⋆ h ) ( x , y ) ⇔ ( F ⋅ H ) ( u , v ) (f \\star h)(x,y) \\Leftrightarrow (F \\cdot H)(u,v) (f⋆h)(x,y)⇔(F⋅H)(u,v)
这表明 F 和 H 分别是 f 和 h 的傅里叶变换；f 和 h 的空间卷积的傅里叶变换，是它们的变换的乘积。


2.5 OpenCV 实现图像傅里叶变换（cv.dft）

使用 OpenCV 中的 cv.dft() 函数也可以实现图像的傅里叶变换，cv.idft() 函数实现图像傅里叶逆变换。

函数说明：

	cv.dft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst
	cv.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst

参数说明：

  • src：输入图像，单通道灰度图像，使用 np.float32 格式
  • dst：输出图像，图像大小与 src 相同，数据类型由 flag 决定
  • flag：转换标识符
    • cv.DFT_INVERSE：用一维或二维逆变换取代默认的正向变换
    • cv.DFT_SCALE：缩放比例标识，根据元素数量求出缩放结果，常与DFT_INVERSE搭配使用
    • cv.DFT_ROWS: 对输入矩阵的每行进行正向或反向的傅里叶变换，常用于三维或高维变换等复杂操作
    • cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT：对一维或二维实数数组进行正向变换，默认方法，结果是由 2个通道表示的复数阵列，第一通道是实数部分，第二通道是虚数部分
    • cv.DFT_REAL_OUTPUT：对一维或二维复数数组进行逆变换，结果通常是一个尺寸相同的复数矩阵

注意事项：

  1. 输入图像 src 是 np.float32 格式，如图像使用 np.uint8 格式则必须先转换 np.float32 格式。
  2. 默认方法 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 时，输入 src 是 np.float32 格式的单通道二维数组，输出 dst 是 2个通道的二维数组，第一通道 dft[:,:,0] 是实数部分，第二通道 dft[:,:,1] 是虚数部分。
  3. 不能直接用于显示图像。可以使用 cv.magnitude() 函数将傅里叶变换的结果转换到灰度 [0,255]。
  4. idft(src, dst, flags) 等价于 dft(src, dst, flags=DFT_INVERSE)。
  5. OpenCV 实现傅里叶变换，计算速度比 Numpy 更快。

转换标识符为 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 时，cv.dft() 函数的输出是 2个通道的二维数组，使用 cv.magnitude() 函数可以实现计算二维矢量的幅值 。

函数说明：

	cv.magnitude(x, y[, magnitude]) → dst

参数说明：

  • x：一维或多维数组，也表示复数的实部，浮点型
  • y：一维或多维数组，也表示复数的虚部，浮点型，数组大小必须与 x 相同
  • dst：输出数组，数组大小和数据类型与 x 相同，运算公式为：

d s t ( I ) = x ( I ) 2 + y ( I ) 2 dst(I) = \\sqrtx(I)^2 + y(I)^2 dst(I)=x(I)2+y(I)2 ​

傅里叶变换及相关操作的取值范围可能不适于图像显示，需要进行归一化处理。 OpenCV 中的 cv.normalize() 函数可以实现图像的归一化。

函数说明：

	cv.normalize(src, dst[, alpha[, beta[, norm_type[, dtype[, mask]]]]]) → dst

参数说明：

  • src：输入图像
  • dst：输出结果，与输入图像同尺寸同类型
  • alpha：归一化后的最小值，可选项，默认值为0
  • beta：归一化后的最大值，可选项，默认值为1
  • norm_type：归一化类型
    • NORM_INF：Linf 范数（绝对值的最大值）
    • NORM_L1：L1 范数（绝对值的和）
    • NORM_L2：L2 范数（欧几里德距离），默认类型
    • NORM_MINMAX：线性缩放，常用类型
  • dtype：可选项，默认值 -1，表示输出矩阵与输入图像类型相同
  • mask：掩模遮罩，可选项，默认无遮罩

傅里叶变换在理论上需要 O ( M N ) 2 O(MN)^2 O(MN)2 次运算，非常耗时；快速傅里叶变换只需要 O ( M N l o g ( M N ) ) O(MN log (MN)) O(MNlog(MN)) 次运算就可以完成。

OpenCV 中的傅里叶变换函数 cv.dft() 对于行数和列数都可以分解为 2 p ∗ 3 q ∗ 5 r 2^p * 3^q * 5^r 2p∗3q∗5r 的矩阵的计算性能最好。为了提高运算性能，可以对原矩阵的右侧和下方补 0，以满足该分解条件。OpenCV 中的 cv.getOptimalDFTSize() 函数可以实现图像的最优 DFT 尺寸扩充，适用于 cv.dft() 和 np.fft.fft2()。

函数说明：

	cv.getOptimalDFTSize(versize) → retval

参数说明：

  • versize：数组大小
  • retval：DFT 扩充的最优数组大小

例程 8.11：二维图像的离散傅里叶变换（OpenCV）

    # 8.11：OpenCV 实现二维图像的离散傅里叶变换
    imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0)  # flags=0 读取为灰度图像

    # cv2.dft 实现图像的傅里叶变换
    imgFloat32 = np.float32(imgGray)  # 将图像转换成 float32
    dft = cv2.dft(imgFloat32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 傅里叶变换
    dftShift = np.fft.fftshift(dft)  # 将低频分量移动到频域图像的中心

    # 幅度谱
    # ampSpe = np.sqrt(np.power(dft[:,:,0], 2) + np.power(dftShift[:,:,1], 2))
    dftAmp = cv2.magnitude(dft[:,:,0], dft[:,:,1])  # 幅度谱，未中心化
    dftShiftAmp = cv2.magnitude(dftShift[:,:,0], dftShift[:,:,1])  # 幅度谱，中心化
    dftAmpLog = np.log(1 + dftShiftAmp)  # 幅度谱对数变换，以便于显示
    # 相位谱
    phase = np.arctan2(dftShift[:,:,1], dftShift[:,:,0])  # 计算相位角(弧度制)
    dftPhi = phase / np.pi*180  # 将相位角转换为 [-180, 180]

    print("dftMag max=, min=".format(dftAmp.max(), dftAmp.min()))
    print("dftPhi max=, min=".format(dftPhi.max(), dftPhi.min()))
    print("dftAmpLog max=, min=".format(dftAmpLog.max(), dftAmpLog.min()))

    # cv2.idft 实现图像的逆傅里叶变换
    invShift = np.fft.ifftshift(dftShift)  # 将低频逆转换回图像四角
    imgIdft = cv2.idft(invShift)  # 逆傅里叶变换
    imgRebuild = cv2.magnitude(imgIdft[:,:,0], imgIdft[:,:,1])  # 重建图像

    plt.figure(figsize=(9, 6))
    plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imgGray, cmap='gray')
    plt.subplot(232), plt.title("DFT Phase"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftPhi, cmap='gray')
    plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IDFT"), plt.axis('off')
    pltOpenCV 完整例程30. 图像的缩放（cv2.resize）


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