OpenCV 完整例程68. 连续周期信号的傅立叶级数

Posted 2022-02-06 小白YouCans

【OpenCV 完整例程】68. 连续周期信号的傅立叶级数

欢迎关注 『OpenCV 完整例程 100 篇』 系列，持续更新中
欢迎关注 『Python小白的OpenCV学习课』 系列，持续更新中

1. 频率域图像滤波

图像滤波是在尽可能保留图像细节特征的条件下对目标图像的噪声进行抑制，是常用的图像预处理操作。

频率域图像处理先将图像进行傅里叶变换，然后在变换域进行处理，最后进行傅里叶反变换转换回空间域。

频率域滤波是滤波器传递函数与输入图像的傅里叶变换的对应像素相乘。频率域中的滤波概念更加直观，滤波器设计也更容易。使用快速傅里叶变换算法，比空间卷积运算速度快很多。

2. 傅里叶变换

滤波通常是指对图像中特定频率的分量进行过滤或抑制。图像滤波是在尽可能保留图像细节特征的条件下对目标图像的噪声进行抑制，是常用的图像预处理操作。

图像滤波不仅可以在空间域进行还可以在频率域进行。空间滤波是图像与各种空间滤波器（模板、核）的卷积，而空间卷积的傅里叶变换是频率域中相应变换的乘积，因此频率域滤波是频率域滤波器（传递函数）与图像的傅里叶变换相乘。

频率域图像滤波，先将图像进行傅里叶变换，然后在变换域进行处理，最后进行傅里叶反变换转换回空间域。

空间域滤波器和频率域滤波器形成一个傅里叶变换对：
$$\begin{gathered} f(x,y)\otimes h(x,y)\iff F(u,v)H(u,v) \\ f(x,y)h(x,y)\iff F(u,v)\otimes H(u,v) \end{gathered}$$
也就是说，空间域滤波器和频率域滤波器实际上是相互对应的，有些空间域滤波器在频率域通过傅里叶变换实现会更方便、更快速。例如，空间域的拉普拉斯滤波器就是频率域的高通滤波器。

2.1 傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数（Fourier series）在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

傅里叶级数公式指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数的加权之和：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\psi }_n)\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]\end{array}$$
这个和就是傅里叶级数。

进一步地，任何非周期函数也可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数乘以加权函数的积分：
$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt\\ f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$
这个公式就是傅里叶变换（Fourier transform ）和逆变换。

*傅里叶变换存在的充分条件是：f(t) 的绝对值的积分是有限的，在信号处理、图像处理领域这一条件都能满足。

例程 8.1：连续周期信号的傅立叶级数

    # 8.1：连续周期信号的傅立叶级数
    from scipy import integrate

    nf = 30
    T = 10
    tao = 1.0
    y = 1

    k = np.arange(0, nf)
    an = np.zeros(nf)
    bn = np.zeros(nf)
    amp = np.zeros(nf)
    pha = np.zeros(nf)

    half0, err0 = integrate.quad(lambda t: y, -tao/2, tao/2)
    an[0] = 2 * half0 / T
    for n in range(1, nf):
        half1, err1 = integrate.quad(lambda t: 2*y * np.cos(2.0/T * np.pi * n * t), -tao/2, tao/2)
        an[n] = half1 / 10
        half2, err2 = integrate.quad(lambda t: 2*y * np.sin(2.0/T * np.pi * n * t), -tao/2, tao/2)
        bn[n] = half2 / 10
        amp[n] = np.sqrt(an[n]**2 + bn[n]**2)

    for i in range(0, nf):
        pha[i] = 0.0 if an[i]>=0 else np.pi

    plt.figure(figsize=(9, 6))
    plt.subplot(211), plt.title("Amplitude spectrum"), plt.stem(k, amp)
    plt.subplot(212), plt.title("Phase spectrum"), plt.stem(k, pha)
    plt.show()

---

（本节完）

---

版权声明：

youcans@xupt 原创作品，转载必须标注原文链接

Copyright 2021 youcans, XUPT

Crated：2022-1-15

欢迎关注 『OpenCV 完整例程 100 篇』 系列，持续更新中
欢迎关注 『Python小白的OpenCV学习课』 系列，持续更新中

【OpenCV 完整例程】01. 图像的读取（cv2.imread）
【OpenCV 完整例程】02. 图像的保存（cv2.imwrite）
【OpenCV 完整例程】03. 图像的显示（cv2.imshow）
【OpenCV 完整例程】04. 用 matplotlib 显示图像（plt.imshow）
【OpenCV 完整例程】05. 图像的属性（np.shape）
【OpenCV 完整例程】06. 像素的编辑（img.itemset）
【OpenCV 完整例程】07. 图像的创建（np.zeros）
【OpenCV 完整例程】08. 图像的复制（np.copy）
【OpenCV 完整例程】09. 图像的裁剪（cv2.selectROI）
【OpenCV 完整例程】10. 图像的拼接（np.hstack）
【OpenCV 完整例程】11. 图像通道的拆分（cv2.split）
【OpenCV 完整例程】12. 图像通道的合并（cv2.merge）
【OpenCV 完整例程】13. 图像的加法运算（cv2.add）
【OpenCV 完整例程】14. 图像与标量相加（cv2.add）
【OpenCV 完整例程】15. 图像的加权加法（cv2.addWeight）
【OpenCV 完整例程】16. 不同尺寸的图像加法
【OpenCV 完整例程】17. 两张图像的渐变切换
【OpenCV 完整例程】18. 图像的掩模加法
【OpenCV 完整例程】19. 图像的圆形遮罩
【OpenCV 完整例程】20. 图像的按位运算
【OpenCV 完整例程】21. 图像的叠加
【OpenCV 完整例程】22. 图像添加非中文文字
【OpenCV 完整例程】23. 图像添加中文文字
【OpenCV 完整例程】23. 图像添加中文文字
【OpenCV 完整例程】24. 图像的仿射变换
【OpenCV 完整例程】25. 图像的平移
【OpenCV 完整例程】26. 图像的旋转（以原点为中心）
【OpenCV 完整例程】27. 图像的旋转（以任意点为中心）
【OpenCV 完整例程】28. 图像的旋转（直角旋转）
【OpenCV 完整例程】29. 图像的翻转（cv2.flip）
【OpenCV 完整例程】30. 图像的缩放（cv2.resize）
【OpenCV 完整例程】31. 图像金字塔（cv2.pyrDown）
【OpenCV 完整例程】32. 图像的扭变（错切）
【OpenCV 完整例程】33. 图像的复合变换
【OpenCV 完整例程】34. 图像的投影变换
【OpenCV 完整例程】35. 图像的投影变换（边界填充）
【OpenCV 完整例程】36. 直角坐标与极坐标的转换
【OpenCV 完整例程】37. 图像的灰度化处理和二值化处理
【OpenCV 完整例程】38. 图像的反色变换（图像反转）
【OpenCV 完整例程】39. 图像灰度的线性变换
【OpenCV 完整例程】40. 图像分段线性灰度变换
【OpenCV 完整例程】41. 图像的灰度变换（灰度级分层）
【OpenCV 完整例程】42. 图像的灰度变换（比特平面分层）
【OpenCV 完整例程】43. 图像的灰度变换（对数变换）
【OpenCV 完整例程】44. 图像的灰度变换（伽马变换）
【OpenCV 完整例程】45. 图像的灰度直方图
【OpenCV 完整例程】46. 直方图均衡化
【OpenCV 完整例程】47. 图像增强—直方图匹配
【OpenCV 完整例程】48. 图像增强—彩色直方图匹配
【OpenCV 完整例程】49. 图像增强—局部直方图处理
【OpenCV 完整例程】50. 图像增强—直方图统计量图像增强
【OpenCV 完整例程】51. 图像增强—直方图反向追踪
【OpenCV 完整例程】52. 图像的相关与卷积运算
【OpenCV 完整例程】53. Scipy 实现图像二维卷积
【OpenCV 完整例程】54. OpenCV 实现图像二维卷积
【OpenCV 完整例程】55. 可分离卷积核
【OpenCV 完整例程】56. 低通盒式滤波器
【OpenCV 完整例程】57. 低通高斯滤波器
【OpenCV 完整例程】58. 非线性滤波—中值滤波
【OpenCV 完整例程】59. 非线性滤波—双边滤波
【OpenCV 完整例程】60. 非线性滤波—联合双边滤波
【OpenCV 完整例程】61. 导向滤波（Guided filter）
【OpenCV 完整例程】62. 图像锐化——钝化掩蔽
【OpenCV 完整例程】63. 图像锐化——Laplacian 算子
【OpenCV 完整例程】64. 图像锐化——Sobel 算子
【OpenCV 完整例程】65. 图像锐化——Scharr 算子
【OpenCV 完整例程】66. 图像滤波之低通/高通/带阻/带通
【OpenCV 完整例程】67. 空间域图像增强的综合应用
【OpenCV 完整例程】68. 空间域图像增强的综合应用