节点大小平衡树的基本操作

Posted 2023-04-23

参考技术A

SBT的查找操作与普通BST完全相同。下面的过程将返回指向目标节点的指针。
Search(t,k)
1 if x=NIL or k=key[t]
2 then return x
3 if k<key[x]
4 then return Search(left[x],k)
5 else return Search(right[x],k) SBT的插入操作仅仅比普通BST的多出了一个Maintain操作，以及对s的简单维护（这在普通BST的动态顺序统计操作中也是必须的）。下面这个过程将一个节点v插入SBT中。
Insert (t,v)
1 If t=0 then
2 t ← v
3 Else
4 s[t] ← s[t]+1
5 If v<key[t] then
6 Insert(left[t],v)
7 Else
8 Insert(right[t],v)
9 Maintain(t,v≥key[t]) 下面这个过程将返回一个指向以x为根的子树中包含第i小关键字的节点的指针。
Select(x,i)
1 r ← size[left[x]] + 1
2 if(i=r)
3 then return x
4 else if i<r
5 then return Select(left[x],r)
6 else return Select(right[x],i-r) SBT的rank操作与普通BST完全相同。

AVL树

AVL树是一种平衡二叉搜索树，在渐进意义下，可以保证树的高度为logn，查找、插入和删除操作均可以在O(logn)时间内完成。AVL树的名字来源，是提出它的人0 0

引入平衡因子的概念，任一节点的平衡因子定义为其左右子树的高度差。

AVL树的限定，是任何一个节点的平衡因子绝对值不大于1。可以通过继承BST来得到AVL树，只需要重写节点的插入和删除操作即可。可以证明，AVL树最少节点数为fib(h+3)-1，此时的树称为斐波那契AVL树。

1 #include"BST.h"
2 template<typename T> class AVL :public BST<T>
3 {
4 public:
5     BinNodePosi(T) insert(const T& e) override;
6     bool remove(const T& e) override;
7 };

节点的插入操作，总体与BST相同，不同之处在于，如果插入后原树不满足AVL树的条件，需要进行旋转操作，重新平衡。旋转重平衡可以分为单旋和双旋，如下图所示。可以发现，旋转后以g为根的子树高度-1.

 1 template<typename T> BinNodePosi(T) AVL<T>::insert(const T& e)//O(logn)
 2 {
 3     //std::cout << "haha" << std:: endl;
 4     BinNodePosi(T)& x = search(e); if (x) return x;
 5     BinNodePosi(T) xx = x = new BinNode<T>(e, _hot); _size++;//此时x的父亲_hot若增高，则祖父有可能失衡
 6     for (BinNodePosi(T) g = _hot; g; g = g->parent)//从_hot检查是否失衡，用3+4算法回复
 7     {
 8         if (!AvlBalanced(*g))
 9         {
10             FromParentTo(*g) = rotateAt(tallerChild(tallerChild(g))); break;//并将子树重新接入原树
11         }//旋转的输入参数为g较高的孙子
12         else
13             updateHeight(g);//更新高度，即使未失衡也可能高度增加
14     }
15     //std::cout << "xixi" << std::endl;
16     return xx;//返回新节点的位置
17 }

rotateAt()在后面实现。可以证明，插入操作一旦造成一个节点失去平衡，那么其父亲也有可能失去平衡。不过，如果其父亲未失去平衡，那么更高的祖先可以不必检查，必然未失衡。因此，循环可以考虑改进，一旦一个节点失衡而某一个祖先未失衡，算法可以停止。重平衡的操作有两种情况，单旋或者双旋可以使得AVL树重新平衡。

 

节点的删除操作，流程上类似。不过，删除操作每次只会导致一个节点失衡。可以发现，重新平衡后，以p为根的子树高度可能会降低也可能保持不变。因此，对这个节点进行旋转恢复平衡，可能会导致更高层的节点失衡，这种现象称为失衡传播。因此，需要从下到上检查节点才能保证恢复平衡。

 1 template<typename T> bool AVL<T>::remove(const T& e)//O(logn)
 2 {
 3     BinNodePosi(T)& x = search(e); if (!x) return false;
 4     removeAt(x, _hot); _size--;
 5     for (BinNodePosi(T) g = _hot; g; g = g->parent)//从_hot开始向上检查,可能造成失衡传播
 6     {
 7         if (!AvlBalanced(*g))
 8             g = FromParentTo(*g) = rotateAt(tallerChild(tallerChild(g))); //原父亲
 9             updateHeight(g);//更新高度，即使未失衡也可能高度增加
10     }//最坏情况需要做O(logn)次
11     return true;//返回新节点的位置
12 }

 

最后，实现重新恢复平衡的方法。其实，综合以上的单旋和双旋情况，可以综合为一个统一的问题，即三个节点和四棵子树的重新组合，具体如下图：

 

因此，可以把插入和删除的单双旋操作统一纳入到框架中，分情况连接这三个节点和四棵子树：

 1 template<typename T> BinNodePosi(T) BST<T>::connect34(BinNodePosi(T) a, BinNodePosi(T) b, BinNodePosi(T) c,
 2     BinNodePosi(T) T0, BinNodePosi(T) T1, BinNodePosi(T) T2, BinNodePosi(T) T3)
 3 {
 4     a->lc = T0; if (T0) T0->parent = a;
 5     a->rc = T1; if (T1) T1->parent = a; updateHeight(a);
 6     c->lc = T2; if (T2) T2->parent = c;
 7     c->rc = T3; if (T3) T3->parent = c; updateHeight(c);
 8     b->lc = a; a->parent = b;
 9     b->rc = c; c->parent = b; updateHeight(b);
10     return b;//返回新树的根节点
11 }
12 template<typename T> BinNodePosi(T) BST<T>::rotateAt(BinNodePosi(T) v)
13 {
14     BinNodePosi(T) p = v->parent; BinNodePosi(T) g = p->parent;//根据v,p,g相对位置分四种情况
15     if(IsLChild(*p))//zig,p是左孩子
16         if (IsLChild(*v))//zig-zig
17         {
18             p->parent = g->parent;
19             return connect34(v, p, g, v->lc, v->rc, p->rc, g->rc);
20         }
21         else //zig-zag
22         {
23             v->parent = g->parent;
24             return connect34(p, v, g, p->lc, v->lc, v->rc, g->rc);
25         }
26     else//zag,p是右孩子
27         if (IsRChild(*v))
28         {
29             p->parent = g->parent;
30             return connect34(g, p, v, g->lc, p->lc, v->lc, v->rc);
31         }
32         else
33         {
34             v->parent = g->parent;
35             return connect34(g, v, p, g->lc, v->lc, v->rc, p->rc);
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