复数矩阵A 的共轭矩阵应该怎么算？谁对？

Posted 2023-03-23

没学过复数的知识，头昏了 网上很多说法
1， A的复数共轭矩阵记做A*。

2，共轭复数：实数部分相同而虚数部分互为相反数的两个复数。矩阵的共轭转置：把矩阵转置后，再把每一个数换成它的共轭复数。

3，某些情况下A*也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。

彻底乱了
谁能帮我理下思路，A*是伴随阵么？计算共轭矩阵和伴随阵有关么？应该怎么算？请说细点，不要复制的谢谢

第二种是标准定义，通常记做A^*或者A^H，偶尔记做A'，一般来讲A^H的写法不会有歧义。另外，A^*也经常用于记伴随矩阵，同样，用adj(A)表示A的伴随不会有歧义。A转置共轭A^H和A的伴随阵adj(A)没有直接关系。

矩阵有实数矩阵和复数矩阵。转置矩阵仅仅是将矩阵的行与列对换，而共轭转置矩阵在将行与列对换后还要讲每个元素共轭一下。共轭就是将形如a+bi的数变成a-bi，实数的共轭是它本身。

所以实数矩阵的共轭转置矩阵就是转置矩阵，复数矩阵的共轭转置矩阵就是上面所说的行列互换后每个元素取共轭。

扩展资料：

Hermite阵是正规阵，因此Hermite阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着Hermite阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。

n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。

如果Hermite阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定阵。

参考资料来源：百度百科-共轭矩阵

参考技术A 第二种是标准定义，通常记做A^*或者A^H，偶尔记做A'，一般来讲A^H的写法不会有歧义。
另外，A^*也经常用于记伴随矩阵，同样，用adj(A)表示A的伴随不会有歧义。
A转置共轭A^H和A的伴随阵adj(A)没有直接关系。

另，楼上给的链接里面内容有错，不要去看。本回答被提问者采纳 参考技术B 第一个第三个都是错的，第二个正确。你上大学后会在线性代数上学到。那个是伴随阵，它等于A的行列式乘以其逆矩阵。计算共轭矩阵就是把他的每个元素都变成他的共轭复数。共轭复数的求法：例如：a+bi的共轭复数是a-bi（参考第二个正确的） 参考技术C http://202.117.96.226:8090/xxds/juzhen/18.htm 参考技术D 共轭矩阵究竟如何定义取决于其中的“共轭”是如何定义的：
1.如果共轭是指“复共轭”，那么共轭矩阵就是指相应的复共轭矩阵，记为A*
2.如果共轭是指“厄米共轭”，那么共轭矩阵就是指相应的复共轭转置矩阵（一些线性代数书也会将共轭转置矩阵记为A*或A^H），在量子力学的书里会将之记成A^+

共轭是一个很泛的概念，不同书的作者会对之有不同的定义，不同的记法，目前尚无统一的定义。在具体使用的时候只需对所说的“共轭”以及相应的记号作适当的说明即可。

3.伴随矩阵有两种，这是由于不同的英文翻译成相同的中文所造成的：
Adjugate matrix，即A的余子矩阵的转置矩阵
Adjoint matrix，即A的复共轭转置矩阵，在这种翻译情况下，伴随矩阵与厄米共轭矩阵是指同一样东西。

关于矩阵

 共轭复数：

一个复数 的复共轭为：

矩阵 $A$ 的共轭转置 $A^*$（又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置）定义为：

 

其中 $(\\cdot )_{i,j}$表示矩阵i行j列上的元素， ${\\bar{(\\cdot )}}$ 表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作：

其中 $A^T$ 是矩阵A的转置， $\\bar{A} $表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：

厄米矩阵，也称自伴随矩阵（埃尔米特矩阵），是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。

对于,有，其中为共轭算子，记作

厄米矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是厄米矩阵。也就是说，实对称矩阵是厄米矩阵的特例。

正定矩阵：

一个n×n的实对称矩阵是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有$z^TMz > 0$。其中$z^T$表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有 $z^*Mz > 0$ 。其中z*表示z的共轭转置。

判断正定阵：

对n×n的埃尔米特矩阵，下列性质与为正定矩阵”等价：

1、矩阵的所有的特征值都是正的。

半正定矩阵：

是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的，都有：

 

 

参考： 

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E5%B0%94%E7%B1%B3%E7%89%B9%E7%9F%A9%E9%98%B5

 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5