高中数学：三角函数的和差化积公式是怎么推导的？

Posted 2023-03-21

对数的性质及推导
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数
*表示乘号，/表示除号
定义式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);
3.log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);
4.log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
推导
1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
2.
mn=m*n
由基本性质1(换掉m和n)
a^[log(a)(mn)]
=
a^[log(a)(m)]
*
a^[log(a)(n)]
由指数的性质
a^[log(a)(mn)]
=
a^[log(a)(m)]
+
[log(a)(n)]
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(mn)
=
log(a)(m)
+
log(a)(n)
3.与2类似处理
mn=m/n
由基本性质1(换掉m和n)
a^[log(a)(m/n)]
=
a^[log(a)(m)]
/
a^[log(a)(n)]
由指数的性质
a^[log(a)(m/n)]
=
a^[log(a)(m)]
-
[log(a)(n)]
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(m/n)
=
log(a)(m)
-
log(a)(n)
4.与2类似处理
m^n=m^n
由基本性质1(换掉m)
a^[log(a)(m^n)]
=
a^[log(a)(m)]^n
由指数的性质
a^[log(a)(m^n)]
=
a^[log(a)(m)]*n
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
其他性质：
性质一：换底公式
log(a)(n)=log(b)(n)
/
log(b)(a)
推导如下
n
=
a^[log(a)(n)]
a
=
b^[log(b)(a)]
综合两式可得
n
=
b^[log(b)(a)]^[log(a)(n)]
=
b^[log(a)(n)]*[log(b)(a)]
又因为n=b^[log(b)(n)]
所以
b^[log(b)(n)]
=
b^[log(a)(n)]*[log(b)(a)]
所以
log(b)(n)
=
[log(a)(n)]*[log(b)(a)]
这步不明白或有疑问看上面的
所以log(a)(n)=log(b)(n)
/
log(b)(a)
性质二：（不知道什么名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n)
/
ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m)
=
[n*ln(a)]
/
[m*ln(b)]
=
(m/n)*[ln(a)]
/
[ln(b)]
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导
完
）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下:
由换底公式
log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)
----取以b为底的对数,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2
sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2
cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2
cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2
三角函数的积化和差公式
sinα
·cosβ＝1/2
[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα
·sinβ＝1/2
[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα
·cosβ＝1/2
[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα
·sinβ＝-1/2
[cos（α＋β）－cos（α－β）] 参考技术A 很好推导。
对角进行分解，就可以用三角函数的和差公式。
a=(a+b)/2
+
(a-b)/2,
b=(a+b)/2
-
(a-b)/2.

三角函数全公式

三角函数公式有积化和差公式、和差化积公式、三倍角公式、正弦二倍角公式、余弦二倍角公式、余弦定理等。
1积化和差公式。sinα·cosβ=(1/2)*[sin(α+β)+sin(α-β)]；cosα·sinβ=(1/2)*[sin(α+β)-sin(α-β)];cosα·cosβ=(1/2)*[cos(α+β)+cos(α-β)];sinα·sinβ=-(1/2)*[cos(α+β)-cos(α-β)]
2、和差化积公式。sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2];sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2];cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
3三倍角公式。sin3α=3sinα-4sin^3α：cos3α=4cos^3α-3cosα
4两角和与差的三角函数关系sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ);tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 参考技术A 1弧度定义|a|=L弧长:r半径(则l8O度=兀弧度则S扇形=Lr/2=(|a|r^2)/2.
2COS(a+2兀k)=COSaSin(a+2兀k)=Sina
tan(a+2兀k)=tana
COS[a+(2兀k+1)]=-COSa
sin[a+(2兀k+|)]=-sina
tan[a+(2兀k+l]=tana
COS-a=COSa
sin-a=-Sina
tan-a=-tana
COS(兀/2土a)=干sina
sin(兀/2土a)=COSacot(兀/2士a)=干tan
sin(a土b)=sinaCosb土Cosasinb
COs(a土b)=CosaCosb干sinasinb
tan(a土b)=(tana土tanb)/(l干tanatanb)
sina/2=土厂[(l-Cosa)/2]
Cosa/2=土厂[(l+Cosa)/2]
tana/2=土厂[(l-Cosa)/(l+Cosa)]
sina=2tan(a/2)/(l+tan(a/2)^2)
COsa=(l-tan(a/2)^2)/(l+tan(a/2)^2)
三角函数5
2
tana=(2tan(a/2))/(1-(tan(a/2))^2
sin2a=2sinaCOsa
Cos2a=(COSa)^2-(sina)^2=2(Cosa)^2-|=l-2(sina)^2
tan2a=(2tana)/(l-(tana)^2)
sin3a=3sina-4(sina)^3
CoS3a=4(Cosa)^3-3Cosa
tan3a=(3tana-(tana)^3)/(l-3(tana)^2)
sinasinb=[C0s(a-b)-Cos(a+b)]/2
sinacosb=[Sin(a-b)+sin(a+b)]/2
COsaCOSb=[COs(a-b)+CoS(a-b)]/2
sina+Sinb=2sin((a+b)/2)coS((a-b)/2)
COsa+Cosb=2Cos((a+b)/2)C0s((a-b)/2)
CoSa-C0sb=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
xsina士YCosa=厂(x^2+Y^2)sin(a土arCtan(Y/X)补tan(a/2)=sina/(l+COs)=(l-COsa)/sina
3函数平移定理:
)^2)
三角函数6Y=f(x)向上或下平移|k|个单位得Y-或+|k|=f(X)、向左或右得Y=f(x+或-|k|)、将纵坐标伸或缩|k|倍得Y/|k|=f(X)、将横坐标伸或缩|k|得Y=f(X/|k|)、与-Y=f(X)和Y=f(-X)关于X轴和Y轴对称.(注意对应)
4
y=sinx定义域X属实数值域[-l,l]周期2兀单调性[2k兀-兀/2,2k兀+兀/2]递增[2k兀+兀/2,2k兀+3兀/2]递减最大值时x=2k兀+兀/2最小值时X=2k兀-兀/2零值时X=k兀、奇函数、y=COsx定义域x属实数值域[-1,l]周期2兀单调性[(2k-l)兀,2k兀]递增[2k兀,(2k+l)兀]递减最大值时x=2k兀最小值时x=(2k+|)兀零值时x=k兀+兀/2、偶函数、y=tanx定义域x不等k兀+兀/2值域实数周期兀单调性(k兀-兀/2,k兀+兀/2)递增零值时X=k
5
y=Asin或Cos(Wx+e)周期为2兀/|W|、y=Atan或Cot(Wx+e)周期为兀/|W|、在y=Asin(Wx+e)中A振幅lW|/2兀频率Wx+e相位e初相、(周期:若y=f(x)有f(x+T)=f(x),T为最小正数且不为O就称T为y=f(X)的周期且kT,(K属整数)一定也是该函数的周期、
5三角函数线:正弦线余弦线正切线、
6tana=Sina/Cosa
7规定逆时针旋转的角为正角顺则负角不动则零角
(sinA)^2+(CosA)^2=l、SinA/COsA=时x=(2k+|)兀零值时x=k兀+兀/2、偶函数、y=tanx定义域x不等k兀+兀/2值域实数 参考技术B http://hi.baidu.com/411262448sun/blog/item/68fab5eaa134c9d0d439c92a.html
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三角函数公式证明(全部) 参考技术C 诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tga=tana=sina/cosa
两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
三角函数和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
半角公式
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
万能公式
sin(a)=
(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)=
(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)=
(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)
[其中，tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)
[其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a) 参考技术D 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
它有六种基本函数：
函数名
正弦
余弦
正切
余切
正割
余割
符号
sin
cos
tan
cot
sec
csc
正弦函数
sin（A）=a/h
余弦函数
cos（A）=b/h
正切函数
tan（A）=a/b
余切函数
cot（A）=b/a
在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA