积化和差与和差化积

Posted 2020-11-25 lbyifeng

一、求证：(sinalphacoseta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)])

证明：因为[sin(alpha+eta)=sinalphacoseta+cosalphasineta][sin(alpha-eta)=sinalphacoseta-cosalphasineta]将以上两式的左右两边分别相加，得[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)=2sinalphacoseta]即[sinalphacoseta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)]]同理得到[cosalphasineta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)-sin(alpha-eta)]][cosalphacoseta=dfrac{1}{2}[cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)]][sinalphasineta=dfrac{1}{2}[cos(alpha+eta)-cos(alpha-eta)]]由于公式的左边为积的形式，右边为和或差的形式，故把上述四个公式称为 积化和差 公式.

(quad)

二、求证：(sin heta+sinvarphi=2sindfrac{ heta+varphi}{2}cosdfrac{ heta-varphi}{2})

证明：由上一题的证明有[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)=2sinalphacoseta]设 (alpha+eta= heta,alpha-eta=varphi) .那么[alpha=dfrac{ heta+varphi}{2},eta=dfrac{ heta-varphi}{2}]把 (alpha,eta) 的值代入上式，即得[sin heta+sinvarphi=2sindfrac{ heta+varphi}{2}cosdfrac{ heta-varphi}{2}]同理得[sin heta-sinvarphi=2cosdfrac{ heta+varphi}{2}sindfrac{ heta-varphi}{2}][cos heta+cosvarphi=2cosdfrac{ heta+varphi}{2}cosdfrac{ heta-varphi}{2}][cos heta-cosvarphi=-2sindfrac{ heta+varphi}{2}sindfrac{ heta-varphi}{2}]我们把上述四个公式称为和差化积公式.