一些常用的数学题套路

Posted 2021-12-12 bestwyj

三角函数

诱导公式以及和差倍半

随便上网就能查到。

和差化积公式

必背四个公式。
\[\sin(x)+\sin(y)=2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})\]\[\sin(x)-\sin(y)=2\cos(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})\]\[\cos(x)+\cos(y)=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})\]\[\cos(x)-\cos(y)=-2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})\]

积化和差公式

往等式右边代即可，不需要背新的。

复数表示

欧拉公式

\(e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ\)（逆时针转角）

重要结论

通过向量容易直观地得到：
\[\cos(k\frac{2π}{n})=\frac{ω+ω^{-1}}{2}\]
\[\sin(k\frac{2π}{n})=\frac{ω-ω^{-1}}{2i}\]
其中\(ω\)是\(n\)次的单位根。
直接大力代入化简复数表达式可以直接破解大多求值性题目。

设三角

遇到半径为\(r\)的圆，以圆心建系，圆周上点的复数可写作\(r\cosθ+ri\sinθ\)。

三倍角

\[\sin3α=4\sin^3α-3\sinα\]\[\cos3α=-4\cos^3α+3\cosα\]
当\(α=10^\circ或20^\circ\)等等，逆用公式可以得到特殊角。

三角形内定理

直接背。

正弦定理

略。

余弦定理

\[\cos(A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\]

三角形内的三角恒等式

\(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\)
\(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1\)
\((cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1\)
还有一些别的。

泰勒展开式

\[\sin x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}*x^{2k-1}}{(2k-1)!}\]\[\cos x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}*x^{2k}}{(2k)!}\]

数列

等差数列与等比数列

不考。

二阶常系数线性递推

常用特征根法来做。
先把递推式写成 \(F_{i+2}+pF_{i+1}+qF_{i}=0\) 的形式。
则其特征方程为 \(x^2+px+q=0\)。
特征方程的两根\(x_1\),\(x_2\)称作特征根。
若\(x_1 \neq x_2\)，则通项为 \(F(n)=Ax_1^n+Bx_2^n\)；
若\(x_1 = x_2\)，则通项为 \(F(n)=f(n)x_1^n\)（f(n)是一次函数）。
利用已知部分待定系数即可。

非常规方法

待总结。

不等式

柯西不等式

导数