基础-11：最小生成树（MST）

Posted 2023-03-19

参考技术A

最小生成树（minimum spanning tree）是图计算中基本的问题，背后的问题非常直接，假设无向连通图G(V, E)，且E中的每条边e有权值（可以表示距离、价值等），找出一颗树，连接G中所有的边，且连接这棵树的所有边的权值之和最小。在电子制造中，如何以最低的成本连接多个针管便是这一问题。

下面以一个图来对此进行说明：

前面两课中介绍了动态规划和贪心算法，都是用来解决最值问题，本文中的最小生成树很显然也属于此类。最小生成树使用贪心算法，文中会对贪心算法的使用进行说明。

假设mst是最终要求的最小生成树，若A是最小生成树mst边集的子集，如果每次选择一条边(u, v)加入A，并且确保A始终是mst边集的子集，则最终得到的A必然是mst最小生成树的边集。这样的边(u, v)称为A的 安全边 。安全边即为可以选择的边。

为了得到安全边，下面介绍一些概念。无向图G=(V,E)的一个切割(S, V-S)是节点集V的一个划分，如图2所示：

显然，一个切割将图划分为两部分。如果一条边(u,v)，u在S中，v在S-V中，则称边(u,v)横跨切割(S, V-S)。如果集合A中不存在横跨该切割的边，则称该切割尊重A；在横跨切割的所有边中，权重最小的边称为轻量级边（注：轻量级边可能不是唯一的）。

下面的定理和推论保证了Kruskal和Prim算法的正确性，感兴趣的童鞋可以自己证明或参考算法导论中的说明。

根据定理1和推论1，构造最小生成树可以有两种方式，一种是切割的角度，一种是森林的角度。切割的角度：先从图中选取一个点n ₁ ，划一个切割(n ₁ , V-n ₁ )，然后找这个切割的轻量级边以及这个边在 V-n ₁ 的节点n ₂ ；然后再划一个切割（n ₁ , n ₂ , V-n ₁ , n ₂ )，再找出对应的轻量级边，...,直到所有的节点，每一步中找到的轻量级边组成的集合为最小生成树中的边。

森林的方式是：首先将每个节点都看成一个连通分量（此时有n个连通分量），寻找连通连接连通分量权值最小的边(u, v)，(u, v)连接的连通分量为C ₁ 和C ₂ ，则(u, v)连接后，合成一个更大的连通分量C ₁₂ （此时有n-1个连通分量）；然后对n-1个连通分量继续实施上述类似的动作，直至最后变成一个连通分量。

切割的角度对应的是Prim算法，森林的方式对应的是Kruskal算法，算法本身都很简单，在此不再赘述，下面两组从算法导论中摘取的图很好地解释了对应的算法。

最小生成树是图计算中的基本算法，理解算法的关键是切割基础上的轻量级边，上文的说明中野间接解释了利用贪心算法的正确性，相对而言，最小生成树是较为简单和基础的算法，是其他算法的基础。

MST性质（用于构造最小生成树）

描述：假设N=（V，{E}）是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若（u，v）是一条具有最小权值（代价）的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在一棵包含边（u，v）的最小生成树。

证明：

       假设网N的任何一棵最小生成树都不包含（u，v）。设T是连通网上的一棵最小生成树，当边（u，v）加入到T中时，由生成树的定义，T中必存在一天包含（u，v）的回路。另一方面，由于T是生成树，则在T上必存在另一条边（u’，v’），其中u’∈U，v’∈V-U，且u和u’之间，v和v’之间均有路径相通。删去边（u’，v’），便可消除上述回路，同时得到另一棵生成树T’。因为（u，v）的代价不高于（u’，v’），则T’的待机亦不高于T，T’是包含（u，v）的一棵最小生成树。由此和假设矛盾。