MST性质（用于构造最小生成树）

Posted 2020-06-19 风暴公爵

描述：假设N=（V，{E}）是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若（u，v）是一条具有最小权值（代价）的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在一棵包含边（u，v）的最小生成树。

证明：

       假设网N的任何一棵最小生成树都不包含（u，v）。设T是连通网上的一棵最小生成树，当边（u，v）加入到T中时，由生成树的定义，T中必存在一天包含（u，v）的回路。另一方面，由于T是生成树，则在T上必存在另一条边（u’，v’），其中u’∈U，v’∈V-U，且u和u’之间，v和v’之间均有路径相通。删去边（u’，v’），便可消除上述回路，同时得到另一棵生成树T’。因为（u，v）的代价不高于（u’，v’），则T’的待机亦不高于T，T’是包含（u，v）的一棵最小生成树。由此和假设矛盾。