向量数量积的几何意义是啥？

Posted 2023-03-14

向量数量积的几何意义：一个向量在另一个向量上的投影。

定义

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积

两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)

若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)

把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影

因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|

已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)

即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积

扩展内容：

向量积性质

几何意义及其运用

叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 [1] 

代数规则

1.反交换律：a×b= -b×a

2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c

3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

4.不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

5.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

6.两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。 [1] 

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：

(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)

a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),

证明过程如下：

二重向量叉乘化简公式及证明

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2] 

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i×j=k；

j×k=i ；

k×i=j ；

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；

则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i+ a2j+ a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。 [2] 

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；

反交换律：x×y+y×x= 0；

同时与 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；

拉格朗日恒等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²；

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。

参考资料：百度百科-向量积

参考技术A

向量数量积的几何意义是：一个向量在另一个向量上的投影

定义

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积

两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)

若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)

把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影

因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|

已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)

即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积

性质

 向量数量积的基本性质

设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则

① cosθ=a·b/|a||b|

②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|

③ |a·b|≤|a||b|

④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线

折叠 向量数量积运算规律

1.交换律α·β=β·α

2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ

3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)

若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β)

4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0

向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ

向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ

相互垂直的两向量数量积为0

折叠 平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a=x1y1b=x2y2则有a·b=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

一般地设两个非零向量a=x1,y1,b=(x2,y2)根据向量的数量积的定义它们的夹角q可由

cosq=(a·b)/(|a|·|b|)=(x1x2+y1y2)/(sqr(x1^2+y1^2)·sqr(x2^2+y2^2))求得由两个向量垂直的充要条件为a·b=0,可得两个向量垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0

平面向量的分解定理

平面向量的分解定理如果e1e2是同一平面内的两个不平行向量那么对于这一平面的任意向量a有且只有一对实数n1n2使a=n1·e1+n2·e2 (粗字为向量)

在高中平面几何的应用

平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题例如勾股定理菱形的对角线相互垂直矩形的对角线相等等

如证明勾股定理

Rt△ABC中∠C=90°则|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2

因AB=CB-CA

所以AB·AB=CB-CA·CB-CA=CB·CB-2CA·CB+CA·CA;

由∠C=90°有CA⊥CB于是CA·CB=0

所以|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2

菱形对角线相互垂直

菱形ABCD中,点O为对角线ACBD的交点求证AC⊥BD

设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

因AC=AB+BC;BD=BC+CD

所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(cosπ-α+cosπ+cos0+cosα

又因为cosα=-cosπ-α

cosπ=-1cos0=1

所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α =0

AC⊥BD

参考技术B

定义：

向量的点积又称数量积，是将两个向量对应位一一相乘之后再求和所得的数值。

对于向量a和向量b：

点积为一标量。

几何意义
点积可以用来求两个向量之间的夹角。

当两向量垂直时，点积为0。

当两非零向量间的夹角<90度时，点积大于0。

当两非零向量间的夹角>90度时，点积小于0。

向量的点积在与图形学相关的计算机编程中应用非常广泛。

参考技术C

数量积就是点乘，求得结果是一个数值。

向量积是叉乘，求得结果是一个向量C，方向垂直两个向量构成的平面。几何意义是：C的模长就是两个向量构成的四边形面积大小。

至于向量数量积没听说过，但是有一个混合积，形式：（AxB）*C 。所说的向量数量积？混合积 的几何意义是：向量ABC所构成的六边形的体积（可想象正方体，三条边就是三个向量）。

参考技术D 简单讲，俩个平面向量的数量积，等于向量1在向量2上的投影长度乘以向量2的长度。结果是一个数