最短路径问题中的数学思维——最值问题 分宜二中 李早玲
Posted 潘斌诚教学成长工作室
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了最短路径问题中的数学思维——最值问题 分宜二中 李早玲相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
步入八年级学生在观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。
学生在之前的课程学习过程中，已学过“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”这种类似的最值思维。最短路径问题从本质上来说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
在这一的最短路径问题的课程中，常见的是“将军饮马问题”以及“造桥选址问题”。
问题一：饮马问题
这道题用数学思维可分析为： 点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
复杂的问题简单看。总而言之，这道题讲的是直线外同侧两点的最短路径问题。
题目分析到点的最短路径问题，结合之前讲到 “两点间线段最短” 的知识点，在利用学到的轴对称的知识，找到点A或点B的对称点A’或点B’，分析到这，题目的便可看成是：直线外异侧两点的最短路径问题，异侧两点的连线与直线l的交点便是我们要求的位置。
总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
问题二：造桥选址问题
这道题用数学思维可分析为：可以把河岸看成两条平行线a和b，N为直线b上一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样问题可以转化为： 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河宽固定，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样问题进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
因为河的宽度一定，那么我们就先假设行人先走桥的长度（确保方向一致），如图：
因为AA’=MN,且AA’//MN，所以四边形AA’NM是平行四边形，所以AM=A’N,且AM//A’N。那么要分析AM+BN最小？其实就是分析A’N+BN最小？分析到这，题目的便可看成是：直线外异侧两点的最短路径问题，异侧两点的连线与直线b的交点便是我们要求造桥的位置。
总结:在解决最短路径问题时，我们通常利用平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
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