数学基础一份非常适合人工智能学习的高等数学基础材料中文版 （国内教材精华）

Posted 2021-04-26 机器学习初学者

机器学习，需要一定的数学基础，需要掌握的数学基础知识特别多，如果从头到尾开始学，估计大部分人来不及，我建议先学习最基础的数学知识，基础知识可以分为高等数学、线性代数、概率论与数理统计三部分，我整理了相关数学基础资料：

源文件下载：

https://github.com/fengdu78/Data-Science-Notes/tree/master/0.math

内容简介

一、斯坦福大学CS229数学基础

这是斯坦福大学 CS 229 机器学习课程的基础材料，是斯坦福各大人工智能课程的数学基础，对人工智能课程做了优化，强烈推荐！！

我们对原始教程进行了翻译，翻译版本做成了在线阅读版本。

（点击查看：1.，2.）

二、国内大学的数学基础教材精华

这个是我考研考博时候整理的中文教材的资料，分为高等数学、线性代数、概率论与数理统计三部分，我把和机器学习相关的数学知识进行了整理，进行公布。

本文是高等数学部分，建议收藏慢慢看。

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高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

 （1）

或者：

 （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数 在 处的左、右导数分别定义为：

左导数：

右导数：

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数 在 处可微 在 处可导

Th2: 若函数在点 处可导，则 在点 处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3:  存在

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : 

法线方程：

5.四则运算法则

设函数 ]在点 可导则

(1)   

(2)  

(3)   

6.基本导数与微分表

(1)  （常数）   

(2)  ( 为实数)   

(3)       特例:   

(4)   

 特例:    

(5) 

 

(6) 

 

(7) 

 

(8)     

(9)   

 (10)   

 (11) 

 (12) 

 

(13) 

 

(14) 

 (15) 

 

(16) 

 

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设 在点 的某邻域内单调连续，在点 处可导且 ，则其反函数在点 所对应的 处可导，并且有

(2) 复合函数的运算法则:若 在点 可导,而 在对应点 ( )可导,则复合函数 在点 可导,且

(3) 隐函数导数 的求法一般有三种方法：

1)方程两边对 求导，要记住 是 的函数，则 的函数是 的复合函数.例如 ， ， ， 等均是 的复合函数. 对 求导应按复合函数连锁法则做.

2)公式法.由 知 ,其中， ，  分别表示 对 和 的偏导数

3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）莱布尼兹公式：若 均 阶可导，则 ，其中 ，

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数 满足条件：

(1)函数 在 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有  或 ,

(2)  在 处可导,则有 

Th2:(罗尔定理)

设函数 满足条件：

(1)在闭区间 上连续；

(2)在 内可导；

(3) ；

则在 内一存在个 ，使 

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数 满足条件：

(1)在 上连续；

(2)在 内可导；

则在 内一存在个 ，使 

Th4: (柯西中值定理)

设函数 ， 满足条件： (1) 在 上连续；

(2) 在 内可导且 ， 均存在，且

则在 内存在一个 ，使 

10.洛必达法则

法则 Ⅰ ( 型)

设函数

满足条件：

;

在 的邻域内可导，(在 处可除外)且 ;

存在(或 )。

则: 。 法则  ( 型)

设函数

满足条件：

;

存在一个 ,当 时, 可导,且 ; 存在(或 )。

则: 

法则 Ⅱ( 型)

设函数 满足条件： ;

在  的邻域内可导(在 处可除外)且 ; 存在(或 )。

则

同理法则 ( 型)仿法则 可写出。

11.泰勒公式

设函数 在点 处的某邻域内具有 阶导数，则对该邻域内异于 的任意点 ，在 与 之间至少存在 一个 ，使得：

其中 称为 在点 处的 阶泰勒余项。

令 ，则 阶泰勒公式 ……(1)

其中 ， 在 0 与 之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在 处的泰勒公式

(1) 

或 

(2) 

或 

(3) 

或 

(4) 

或 

(5)  

或  

12.函数单调性的判断

Th1:

设函数 在 区间内可导，如果对 ，都有 （或 ），则函数 在 内是单调增加的（或单调减少）

Th2:

（取极值的必要条件）设函数 在 处可导，且在 处取极值，则 。

Th3:

（取极值的第一充分条件）设函数 在 的某一邻域内可微，且 （或 在 处连续，但 不存在。）

(1)若当 经过 时， 由“+”变“-”，则 为极大值；

(2)若当 经过 时， 由“-”变“+”，则 为极小值；

(3)若 经过 的两侧不变号，则 不是极值。

Th4:

(取极值的第二充分条件)设 在点 处有 ，且 ，则 当 时， 为极大值； 当 时， 为极小值。 注：如果 ，此方法失效。

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线 若 ，或 ，则

称为函数 的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若 ，或 ，则

称为 的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若，则  称为 的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在 I 上 （或 ），则 在 I 上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理 1)若在 处 ，（或 不存在），当 变动经过 时， 变号，则 为拐点。

Th3: (拐点的判别定理 2)设 在 点的某邻域内有三阶导数，且 ， ，则 为拐点。

15.弧微分

16.曲率

曲线 在点 处的曲率 。 对于参数方程 。

17.曲率半径

曲线在点 处的曲率 与曲线在点 处的曲率半径 有如下关系： 。