人工智能数学基础01--高等数学基础（极限）

Posted 2023-02-17 剑威

极限定义

某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A （ 永远不能够等于A，但是取等于A 已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值” 。

数列

按照一定次序排列的一列数：，其中叫做通项。

对于数列，如果当 n 无限增大时，其通项无限接近于一个常数A，则称该数列以A为极限，或称数列收敛于A，否则称数列为发散。

极限符号表示

 表示：当  无限增大时；

 表示：当 x 无限增大时；

 表示：当 x 无限减小时；

 表示：当 x 从  的左右两侧无限接近于   时；

 表示：当 x 从  的右侧无限接近于  时；

 表示： 当 x 从  的左侧无限接近于  时；

极限存在的两个重要法则

• 夹逼定理

设：

1. 在*的去心邻域内；
2. 

则：

       

注：

1. 夹逼定理对于数列同样成立；
2. 上面的A换成  或者   ，定理也成立

• 单调有界定理

      设数列  单调增加（减少）且有上（下）界，则  存在，且。

注：

      单调有界定理对函数的极限也成立。

极限运算方法

• 运算法则（四则运算法则）

设：

       存在且等于 A，   存在且等于B。

则：

1. ；
2. ；
3. （c为常数）；
4.   （设  ）;
5. ，并设在* 的去心邻域内有界，则。

注：

1. 如果  与  都不存在，那么   不能写成；
2. 如果，，那么求 不能用前面公式4.。

• 等价无穷小替换与等价无穷小的充要条件

等价无穷小替换定理

设：

        时，

则：

       

注：

1. 上式的含义是，若上式右边存在，则左边等于右边；若上式右边为（或其他情形的不存在），则左边亦为（或其他情形的不存在）。
2. 整个式子中的乘除因子可用等价无穷小替换求其极限，加、减时不能用等价无穷小替换，部分式子的乘除因子也不能用等价无穷小替换。

等价无穷小的充要条件

       时  的充要条件是。

      例如： 时，。这是因为。

• 洛必达法则

法则1

设：

1. ；
2.  与  在 * 的去心邻域 U 内可导，且；
3.  （或 ），

则：

      

法则2

设：

1. ；
2.  与  在 * 的去心邻域 U 内可导，且；
3.  （或 ），

则：

      

注：

        条件1.是必须检查的，不是  型或  型就不能使用洛必达法则。

• 佩亚诺余项泰勒公式

设：

       在  处存在  阶导数

则：

      有公式      

       其中

        ，该公式称为在 处的具有佩亚诺余项的  阶泰勒公式，

        称为佩亚诺余项。

• 利用积分和式求极限公式

设：

 在    上连续，  或 ，

则：

或者  。

 

无穷

无穷小以0为极限，， 则   是  时的无穷小

无穷小的基本性质：

1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小；
2. 有限个无穷小的积仍是无穷小；
3. 有界变量与无穷小的积仍是无穷小；
4. 有限个无穷小之和不一定是无穷小；
5. 无穷小的商不一定是无穷小；
6. 极限有无穷小的关系： 的充要条件  ，其中是 时的无穷小。

无穷小的比较：

假设有    都是无穷小，即：

如果 ，则称  是比  高阶无穷小

如果，则称  是比  低阶无穷小

如果， 则称  与  是同阶无穷小

 

无穷大并不是一个很大的数，时相对于变换过程来说的。

 或 

无穷大和无穷小的关系：在自变量变换的同一过程中，如果为无穷大，那么为无穷小