支持向量机-算法概述

Posted 2021-04-26 零益号

支持向量机-算法概述

有些人认为，支持向量机（SVM）是最好的现成的分类器，这里说的“现成”指的是分类器不加修改即可直接使用。同时，这就意味着在数据上应用基本形式的SVM分类器就可以得到低错误率的结果。SVM能够对训练集之外的数据点做出很好的分类决策。

距离的定义：基于最大间隔分隔数据

假设在一个平面上有如下两组数据，我们可以用如下一条直线将两组数据分隔开（我们将上述可以把数据集分隔开的直线称为分隔超平面）。图左和图右两条直线均可有效的将数据分隔开。那么，哪一条直线的分隔效果更好呢？很明显图右的直线分隔效果更好，因为它距离两组数据的距离相对于图左直线更远。支持向量就是离分隔超平面最近的那些点。

那么，我们在设计分类器之前，就先得学会如何计算支持向量到分隔超平面之间的距离。假设由图点x是分隔超平面的支持向量，w是超平面上的法向量，w'和w''是超平面上的两个点。我们定义超平面方程为w^T^x+b=0。那么我们可以得到两个等式：

• w'和w''在超平面上：w^T^x' = -b; W^T^x'' = -b

• 法向量与w'和w''的向量垂直：

  我们要求点到直线的距离，其实也就是求向量（x - x’）与法向量w的单位向量的投影（內积）。那么公式即为： 因为w'是随机找的一个点，因此必然可以约分，将w'约分完之后，即可得到最终的表达式。

优化目标：找到一条线（w和b）,是的离该线最近的点能够最远

有了距离公式，那么也有了我们机器学习的优化方向：让支持向量与超平面的距离最远。在做SVM机器学习的时候，我们首先需要定义标签，即将我们的训练数据进行分类。在这里，为了后期计算方便，我们将数据分类两类，分别用1和-1表示。那么就有了如下的决策方程：

这里的φ（x）我们可以先暂时理解为x

将距离公式带入到决策方程，可得： (由于 , 所有将绝对值展开，公式依旧成立。)

对于该决策方程，我们设计优化目标，找到一条离支持向量的点最远的直线，优化目标如下：

目标函数: 

求解目标函数

上述的目标函数看起来很复杂，通俗的将，大括号内的意思即为，找到在整个样本中，距离决策边界距离最小的样本。大括号外面即，找到与这些这些样本距离最大的线。

放缩变换

对于决策方程，不太好求解，我们这里可以做一下变换。我们通过放缩变换使得：对于决策方程（w,b）,其结果 (之前我们认为恒大于0，现在更严格了一些)

由于 , 那么，其最小值就为1，那么，我们只需要考虑 。

当前目标： ，约束条件：

函数变换

对于上述目标函数，我们适当转换一下，方便求解。我们可以将上述函数的求最大值问题，改为求极小值问题：

转换函数 

转换思路为：先将 转换成其倒数，再取其平方，再添加一个常规项1/2。虽然做了如下操作之后，最后得到的点的值会发生变换，但是，取到的点是不变的。

对于这个函数，我们可以用拉格朗日乘子法求解。

求解拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法是专门用来求解带约束条件的问题的。他的基本公式为：

 

把我们的方程代入，即得：

  约束条件:

上式有三个未知量，w, α,b。如果我们能求得这三个变量之间的关系，即可得到方程的解。我们分别对w和b求偏导，得：

对w求偏导:

对b求偏导:

我们带入原式即得：

 

其中： ; 

 

  完成了第一步求解minL(w,b,α)

  求解该式的极值

继续求解

我们需要求解上式的极大值，添加一个符号，我们转换为求解该式的极小值。

即： ; 条件：

实例求解

我们现在以一个实例，求解上述方程。

我们将上面数据代入即可得：

对α1和α2求偏导即可得:  ; 

这里，α2小于0，不满足约束条件，所以应该在边界上。此时α1=0或者α2=0.

将α结果代入求解： ; 平面方程为：

软间隔问题

在这里插入图片描述

核函数

核函数即为了解决低维不可分问题，通过核函数将我们的数据转换到高维的层面，这里就不多介绍了。我们最常用的一个核函数即为高斯核函数。