486,动态规划解最大子序和

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问题描述



给定一个整数数组nums,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

输出: 6

解释: 连续子数组[4,-1,2,1]的和最大,为6。


动态规划解决



这题是让求最大的连续子序和,如果不是连续的非常简单,只需要把所有的正数相加即可。但这里说的是连续的,中间可能掺杂负数,如果求出一个最大子序和在加上负数肯定要比原来小了。解这题最简单的一种方式就是使用动态规划。


我们先来了解一下动态规划的几个步骤

1,确定状态

2,找到转移公式

3,确定初始条件以及边界条件

4,计算结果。


最后一个不用看,只看前3个就行,因为前3个一旦确定,最后一个结果也就出来了。我们试着找一下


1,定义dp[i]表示数组中前i+1注意里的i是从0开始的个元素构成的连续子数组的最大和。


2,如果要计算前i+1个元素构成的连续子数组的最大和,也就是计算dp[i],只需要判断dp[i-1]是大于0还是小于0。如果dp[i-1]大于0,就继续累加,dp[i]=dp[i-1]+num[i]。如果dp[i-1]小于0,我们直接把前面的舍弃,也就是说重新开始计算,否则会越加越小的,直接让dp[i]=num[i]。所以转移公式如下

dp[i]=num[i]+max(dp[i-1],0);


3,边界条件判断,当i等于0的时候,也就是前1个元素,他能构成的最大和也就是他自己,所以

dp[0]=num[0];


找到了上面的转移公式,代码就简单多了,来看下

 1public int maxSubArray(int[] num) {
2    int length = num.length;
3    int[] dp = new int[length];
4    //边界条件
5    dp[0] = num[0];
6    int max = dp[0];
7    for (int i = 1; i < length; i++) {
8        //转移公式
9        dp[i] = Math.max(dp[i - 1], 0) + num[i];
10        //记录最大值
11        max = Math.max(max, dp[i]);
12    }
13    return max;
14}


代码优化



仔细看下上面的代码会发现,我们申请了一个长度为length的数组,但在转移公式计算的时候,每次计算当前值的时候只会用到前面的那个值,再往前面就用不到了,这样实际上是造成了空间的浪费。这里不需要一个数组,只需要一个临时变量即可,看下代码

 1public int maxSubArray(int[] num) {
2    int length = num.length;
3    int cur = num[0];
4    int max = cur;
5    for (int i = 1; i < length; i++) {
6        cur = Math.max(cur, 0) + num[i];
7        //记录最大值
8        max = Math.max(max, cur);
9    }
10    return max;
11}


总结



动态规划最重要的3步就是先确定状态,最关键的是找出转移公式,最后再确定边界条件,防止数组越界等问题,这3步确定以后基本上就能解决了。



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