leetcode-最大子序和（动态规划讲解）

Posted 2020-12-29 土豆烧鸡

最大子序和（动态规划讲解）

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

输出: 6

解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

重点在动态规划。

1.采用的是s[j] -s[i]的方式，其中s[i] 和s[j]的查找的时间复杂度教大。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums.length==1)return nums[0];
        int sum[]=new int [nums.length+1];
        sum[0]=0;int temp=0;
        for(int i=1;i<nums.length+1;i++){
            sum[i]=sum[i-1]+nums[i-1];
        }
        int len=nums.length;
        int max=Integer.MIN_VALUE;
       for(int i=0;i<len+1;i++){
           for(int j=i+1;j<len+1;j++){
               if(sum[j]-sum[i]>max)max=sum[j]-sum[i];
           }
       }
        return max;
    }
}

2.动态规划解法

• 令状态dp[i]表示以A[i]作为末尾的连续序列的最大和。比如[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 一个序列，下标分别是0，1，2，3，4，5，6，7，8

dp[0]=-2

dp[1]=-1;

dp[2]=-4;

dp[3]=0;

dp[4]=-1

通过设置一个dp数组，要求的最大和其实就是dp[0],dp[1]...dp[n-1]中的最大值，下面想办法求解dp数组。

• 作如下考虑：因为dp[i]要求是必须以A[i]结尾的连续序列，那么只有两种情况：

1.这个最大和的连续序列只有一个元素，以A[i]开始，A[i]结尾

2.这个最大和的连续序列多个元素，从前面A[p]开始（p<i),一直到A[i]结束。

对于第一种情况，最大和就是A[i]本身。 第二张，最大和是dp[i-1]+A[i]。

于是得到方程：dp[i]=max(dp[i-1]+A[i],A[i])。 边界dp[0]=0.

于是从小到大输出dp数组，找到他的最大值，即为最大子序列和。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int dp[]=new int[nums.length+1];
        dp[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);    
        }
        int k=0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            if(dp[i]>dp[k])k=i;
        }
        return dp[k];
    }
}