「算法笔记」一文摸秃二分查找

Posted 2021-04-09 梅川酷子的裤子

0、引言

经过一段时间的算法学习，我们觉得从二分查找开始再合适不过。

对于二分查找，你是否也对循环条件该怎么写产生焦虑，是否也对要分奇数偶数情况讨论感到抓狂，是否纠结于取mid时到底是向下取整还是向上取整。

别慌，我们和你一起仔细分析二分查找，从二分查找到经典代码到两种变种再到大一统代码，争取吃透二分查找，让天下没有难写的算法。

本文结构：

·什么是二分查找

·二分查找的通用代码以及为什么这么写

·二分查找的应用场景

·本节精简小抄以及所关联的leetcode题号

1、什么是二分查找

我们先讲个通俗易懂的故事。

这天，室友回到宿舍给你展示他新买的AirPods，并让你猜多少钱，你说：“那官网不都写了吗，1246”。室友摇摇头说高了，你再给个数，623。室友说：“怎么可能啊兄弟，我这新的，你搁这腰斩呢。”你没好气的回复道：“623也不是，1246也不是，这中间从623到1246总共622个价格，全部猜一遍猜到天亮吗，劳资还要打王者。” 

室友笑道：“小笨蛋，你不会用二分查找吗？你先猜一半，再猜一半，再猜一半...” 你悟了，先猜 (623 + 1246) / 2 = 934。室友：”高了“。你再猜(934 + 623) / 2 = 778.5。室友摸了摸你的小脑袋：“真聪明，几下就猜中了呢。”

如你所见，这种每次取一半去猜答案，多了就减，少了就加的方法就是二分查找。如果傻乎乎的从1，2，3，4，5...开始遍历查找，要查到猴年马月？

二分查找的思路很简单，但写起来却有诸多的细节可供把玩品味。引用KMP算法发明者的一句话：Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky（虽然二分查找的思路很简单，但是细节要你命）。

看客们若想理解性记忆把控这些细节，请随着我们的思路往下走。

2、通用代码以及Why

def binarySearch(nums, target): left = 0 right = len(nums) - 1 #-------1 while left <= right: #-------2 mid = left + (right - left) // 2 #-------3 if nums[mid] == target: return mid elif nums[mid] < target: left = mid + 1 #-------4 elif nums[mid] > target: right = mid - 1 #-------4   return -1

#1：

让left = 0, right = len(nums) - 1实际上是把二分搜索的索引区间限制在闭区间[left, right]。

比如对于数组nums=[2,3,5,6,10,11,12,13,15]来说，这样的写法对应的搜索索引区间就是[0,8]。

当然，你可能会经常忘记写“-1”，而写成“right = len(nums)”，此时对应的搜索索引区间就是左闭右开区间 [left, right)，也即[0,9)，注意，是一个右括号。这种写法不是不行，但后续的代码要做出对应的修改，后文会讲。

#2：

left <= right的终止条件是left = right + 1，这很好理解。那如果我忘了写等于号，写成”left < right“，那对应的终止条件是什么呢？

对，就是left = right。那这有什么含义上的区别呢？很简单，画个图你就明白了。

对于[left, right]这种闭区间的情况，在终止条件是left = right + 1，最终搜索结束时，左右指针停留如图所示：

可见，结束时，左右指针可以遍历完数组中的所有元素，二分搜索正确运行。

在终止条件是left = right，最终搜索结束后，左右指针停留如图所示：

可见，在循环结束时，还剩index = left = right这一个索引指向的元素没有被查看，二分搜索漏元素了！

此时，细心的读者会问，那我采用刚刚的[left, right)写法，结合这个left = right的终止条件，不就能遍历数组中的所有元素了嘛？

嘿，我要摸摸你的小脑袋，真聪明。没错，这是对的。在这种情况下，沿用刚刚例子中的数组nums，则此时的right=9，搜索的索引区间为[0,9)，那最后停止时，left = right = 9，也就遍历完了索引为0，1，2，3，4，5，6，7，8的元素，即nums中的所有元素，二分搜索算法得以正常运行！

#3:

取中点值的标准写法，这必须记住。因为直接写成mid = (left + right) // 2会导致溢出。

#4:

很好理解，因为我们的初始搜索区间是[left, right]，算出mid，且mid不是我们要的target后，下一个搜索区间是[left, mid - 1] 和 [mid + 1, right]。不包含mid是因为mid已经被检验过了，不是我们想要的答案。那么，显而易见，当mid大于target时，要让 right = mid - 1以进入mid左边的搜索区间。相应的，当mid大于target时，要让left = mid + 1以进入mid右边的搜索区间。

至此，经典的二分搜索算法我们已经剖析完成。但这个算法已经完美了吗？

具体而言，对于nums = [1,2,2,2,3,4]的情况，含有多个重复元素，且2刚好就是我们要找的target。那此时题目要我返回最左边的2，该怎么办？要我返回最右边的2，又该怎么办？

根据这种差别，我们将二分搜索算法分为“最左目标二分查找”，以及“最右目标二分查找”。

2.1 最左目标二分查找

按惯例，先上标准代码：右划查看注释

def binarySearch(nums, target): left = 0 right = len(nums) while left < right: mid = left + (right - left) // 2 if nums[mid] == target:           right = mid                  #--------1 elif nums[mid] < target: left = mid + 1 elif nums[mid] > target:           right = mid                  #--------2 return right

#1：

可以注意到，标准代码采取了左闭右开区间[left, right)和终止条件left = right的写法。这段代码之所以能找到最左目标，精髓就在这个#1，每次找到target进行更新时，mid都将区间分为”[left, mid), mid, [mid + 1, right)”，令right = mid就可以顺利的进入左边的区间。

更形象的，这个”mid)” 就像卡身位一样将搜索卡入左边的搜索区间。同理，若mid不等于(或大于)我们要找的target，也是将区间通过”mid)”的写法卡入左边更小的搜索区间。

更更详细一点，有读者可能还是想问这里为什么不像上一段代码一样写成right = mid - 1。好，那我们假设#1改成right = mid - 1，那每次更新时，搜索区间就会被划分成[left, mid - 1), mid , [mid + 1, right)。注意，“mid - 1)” 和“mid”之间还有一个”[mid - 1]” 没有被检验过，因此就出现了漏检的情况。

读者理解了#1处，也就很容里理解#2处了。

#*：

有人可能会问，我能不能用 right = len(nums) - 1, 终止条件: left = right + 1的写法来写最左目标二分查找呢。

先说结论，经过我们的尝试，建议不要这样做。那我们一起看看这样做会出现什么情况。代码如下：右划查看注释

def binarySearch(nums, target): left = 0 right = len(nums) - 1 while left <= right: mid = left + (right - left) // 2 if nums[mid] == target:           right = mid                  #--------1 elif nums[mid] < target: left = mid + 1 elif nums[mid] > target:           right = mid                  #--------2 return right

如果读者亲自运行这段代码就会发现，最后会一直死循环。

原因很简单，因为每次更新，mid将搜索区间划分成[left, mid], [mid + 1, right]。当循环到到后面，搜索区间就会变成[left, 最左target(也等于mid等于right)]，因为mid = left + (right - left) // 2向下取整，所以mid取到挨着最左target的左边的值(其实此时，mid和left取值相同)，此值小于最左target，根据第9行代码，此时left要+1。这就是问题所在，这left + 1不就等于right，不就等于最左target了嘛？那我的下一个mid不就是 (自己+自己) / 2还等于自己，那mid也不更新，right也不更新，left也不更新，也就是left永远<=right，跳不出循环。

所以，我们不介意这么写。

2.2 最右目标二分查找

废话不多说，上代码：右划查看注释

def binarySearch(nums, target): left = 0 right = len(nums) while left < right: mid = left + (right - left) // 2 if nums[mid] == target:           left = mid + 1             #--------1 elif nums[mid] < target: left = mid + 1 elif nums[mid] > target: right = mid    return left - 1                    #--------2

#1：

同样的，能让这段代码找到最右target的精髓也在此处。如我们在最左目标查找中分析的那样，每次更新时，mid将搜索区间划分成[left, mid), mid ,[mid + 1, right)。当mid小于或等于我们的target时，要让left = mid + 1才能顺利的进入右边的搜索区间，去不断的寻找最右target。但！也正是因为left = mid + 1，所以才会出现#2处这样的代码。放在下一段分析。

#2：

仔细想想，当mid = 最右target时，我们又让left = mid + 1，此时left = right，循环终止。但left已经指向了最右target的下一个元素，因此要返回left - 1。

2.3 大一统二分查找

经过上面三种代码的熏陶，你是否已经所有所思，但还是感觉记忆起来需要费点儿劲，需要分清楚while的终止条件，还要分清楚right什么时候等于len(nums)什么时候等于len(nums) - 1。没关系，我们在此给出一种万能代码。

查找目标：右划查看注释

def binarySearch(nums, target): left = 0 right = len(nums) - 1 while left + 1 < right:       mid = left + (right - left)//2 if nums[mid] == target: return mid elif nums[mid] < target: left = mid elif nums[mid] > target: right = mid if nums[right] == target: return right if nums[left] == target: return left return -1

最左目标查找：右划查看注释

def binarySearch(nums, target): left = 0 right = len(nums) - 1 while left + 1 < right:       mid = left + (right - left)//2 if nums[mid] == target: left = mid elif nums[mid] < target: left = mid elif nums[mid] > target: right = mid if nums[right] == target: return right if nums[left] == target: return left return -1

最右目标查找：右划查看注释

def binarySearch(nums, target): left = 0 right = len(nums) - 1 while left + 1 < right:       mid = left + (right - left)//2 if nums[mid] == target: right = mid elif nums[mid] < target: left = mid elif nums[mid] > target: right = mid   if nums[left] == target:        #-------1 return left   if nums[right] == target:       #-------2 return right   return -1

代码很统一，读者到这里应该能理解，这种写法的搜索区间是闭区间[left, right]，那么终止条件是什么呢？

没错，就是left + 1 = right，当循环终止时，left和right挨着，这其中的一个就是我们想要的答案，无论是单纯的目标，最左目标还是最右目标。需要注意的是，当循环结束时，多做了两个判断#1和#2。画个图来告诉你为什么要多两个判断（以最右目标查找为例）：

如图所示，最后终止时，left和right指针无论是如黑色所示还是如红色所示，其中之一指向的就是我们要的target，那么我们按从右向左的顺序，即先判断right再判断left，不就可以找出最右的目标了嘛。这样看来，最左目标查找的写法是不是也一目了然？

虽然大一统代码很容易记忆，但面试中遇到二分查找，考察的恰恰就是这些细节问题。因此，不能光记忆大一统代码，前面的代码也要做到能自由切换。

3、应用场景

二分查找最明显的特点就是将搜索的复杂度从遍历搜索O(n)降到O(logn)，要知道，logn是一个非常牛逼的数量级。比如2的32次方，大概等于42亿，如果遍历的话，要算到哪年去？但使用logn，也就是算32次而已。

二分查找只是一种折半的思想，通过我们的刷题观察，凡是题目中对时间复杂度出现logn的要求，都可以应用这种折半思想。由此可见，二分查找的应用十分广泛，这也是为什么我们从二分查找开始。

但需要注意的是，二分查找只适用于顺序表，也就是数组，且应用于有序（递增or递减）的数据。

4、精简小抄及leetcode

笔记至此，我们能完全掌握二分查找了。一起到leetcode拿下对应的习题吧：

leetcode：35. 搜索插入位置 

leetcode：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

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