二叉树的遍历详解

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了二叉树的遍历详解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

好久不见!新年第一更,今天向大家介绍一下二叉树的遍历问题。

概述

二叉树的遍历是一个很常见的问题。二叉树的遍历方式主要有:先序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。先序、中序、后序其实指的是父节点被访问的次序。若在遍历过程中,父节点先于它的子节点被访问,就是先序遍历;父节点被访问的次序位于左右孩子节点之间,就是中序遍历;访问完左右孩子节点之后再访问父节点,就是后序遍历。不论是先序遍历、中序遍历还是后序遍历,左右孩子节点的相对访问次序是不变的,总是先访问左孩子节点,再访问右孩子节点。而层次遍历,就是按照从上到下、从左向右的顺序访问二叉树的每个节点。

二叉树的遍历详解

在介绍遍历算法之前,先定义一个二叉树的结构体。使用的是 C++ 语言。

//filename: BinTreeNode.h
template <typename T> struct BinTreeNode {
    T data; //数据域
    BinTreeNode * LeftChild; //左孩子节点指针
    BinTreeNode * RightChild; //右孩子节点指针
    BinTreeNode * parent; //父节点指针
};

先序遍历

递归

使用递归,很容易写出一个遍历算法。代码如下:

//filename: BinTreeNode.h
template <typename T>
void travPre_R(BinTreeNode<T> * root) {//二叉树先序遍历算法(递归版)
    if (!root) return;
    cout << root->data;
    travPre_R(root->LeftChild);
    travPre_R(root->RightChild);
}

迭代

在之前的文章中,我不止一次地说过,递归是很耗费计算机资源的,所以我们在写程序的时候要尽量避免使用递归。幸运的是,绝大部分递归的代码都有相应的迭代版本。那么我们就试着将上述递归代码改写成迭代的版本。改写之后,代码如下:

//filename: BinTreeNode.h
template <typename T>
void travPre_I1(BinTreeNode<T> * root) {//二叉树先序遍历算法(迭代版#1)
    Stack<BinTreeNode<T>*> s; //辅助栈
    if (root) //如果根节点不为空
        s.push(root); //则令根节点入栈
    while (!s.empty()) { //在栈变空之前反复循环
        root = s.pop(); cout << root->data; //弹出并访问当前节点

        //下面左右孩子的顺序不能颠倒,必须先让右孩子先入栈,再让左孩子入栈。
        if (root->RightChild)
            s.push(root->RightChild); //右孩子先入后出
        if (root->LeftChild)
            s.push(root->LeftChild); //左孩子后入先出
    }
}

下面我们通过一个实例来了解一下该迭代版本是如何工作的。

二叉树的遍历详解

PS:黑色的元素表示已经被弹出并访问过。

结合代码,该二叉树的先序遍历过程如下:

  1. 初始化一个空栈。

  2. 根节点入栈,此时将 a 入栈。

  3. 循环开始,弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 a。

  4. 如果 a 有右孩子,则将其右孩子节点入栈;如果 a 有左孩子,则将其左孩子节点入栈。此时栈中有 b、c 两个元素。

  5. 这时进入下一轮循环。弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 b。经检查,b 没有右孩子,也没有左孩子,进入下一轮循环。

  6. 弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 c。c 的右孩子是 f,左孩子是 d,故分别将 d、f 入栈。进入下一轮循环。

  7. 此时栈中的元素是 d、f。

  8. 弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 d。d 的右孩子是 e,d 没有左孩子,故将 e 入栈。进入下一轮循环。

  9. 此时栈中的元素是 e、f。

  10. 弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 e。e 没有左右孩子,进入下一轮循环。

  11. 弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 f。f 没有左右孩子,进入下一轮循环。

  12. 此时栈为空,退出循环。遍历结束。

这个迭代的遍历算法非常简明,但是很遗憾,这种算法并不容易推广到我们接下来要研究的中序遍历和后序遍历。因此我问需要寻找另一种策略。

第 2 种迭代方式

我们来看一个规模更大、更具一般性的二叉树:

二叉树的遍历详解

这个二叉树的先序遍历序列是:idcabhfeglkjnmpo,也就是遵循了下图所示的顺序:

二叉树的遍历详解

再进一步,我们把二叉树抽象成下面这个样子,

二叉树的遍历详解

二叉树的遍历详解是二叉树的左侧链上的节点,二叉树的遍历详解分别是二叉树的遍历详解的右孩子,二叉树的遍历详解分别是二叉树的遍历详解的右子树。不难发现,二叉树的先序遍历就是先自上而下访问左侧链上的节点,再自下而上访问左侧链上的节点的右子树。而我们的遍历算法,就是根据这样一个思路来进行设计。

首先需要实现一个子方法,就是访问二叉树左侧链上的节点:

//从当前节点出发,沿左分支不断深入,直至没有左分支的节点;沿途节点遇到后立即访问
template <typename T> //元素类型、操作器
static void visitAlongLeftBranch ( BinTreeNode<T>* x, Stack<BinTreeNode<T>*>& S ) {
   while ( x ) {
      cout << x->data; //访问当前节点
      if( x->RightChild )
           S.push ( x->RightChild ); //右孩子入栈暂存(可优化:通过判断,避免空的右孩子入栈)
      x = x->LeftChild;  //沿左分支深入一层
   }
}

然后是主方法,在主方法中,通过迭代,不断地调用上面这个子方法,从而实现完整的二叉树先序遍历。

template <typename T> //元素类型、操作器
void travPre_I2 ( BinTreeNode<T>* root) //二叉树先序遍历算法(迭代版#2)
   Stack<BinTreeNode<T>*> S; //辅助栈
   while ( true ) {
      visitAlongLeftBranch ( root, S ); //从当前节点出发,逐批访问
      if ( S.empty() ) break//直到栈空
      root = S.pop(); //弹出下一批的起点
   }
}

中序遍历

递归

与先序遍历类似,递归版的中序遍历算法很容易实现,代码如下:

template <typename T>
void travIn_R(BinTreeNode<T> * root) {//二叉树先序遍历算法(递归版)
    if (!root)
        return;
    travPre_R(root->LeftChild);
    cout << root->data;
    travPre_R(root->RightChild);
}

递归代码不仅容易实现,也很好理解,这里不再做过多解释。

迭代

参照迭代式先序遍历版本 2 的思路,在宏观上,我们可以将中序遍历的顺序抽象为,先访问二叉树的左侧链上的最底部的节点,然后访问该节点的右子树(如果有的话),然后访问该节点的父节点,然后访问该节点的父节点的右子树(如果有的话)……直至全部节点被访问完毕。如下图所示:

二叉树的遍历详解

按照以上思路,可以实现迭代版中序遍历算法如下:

template <typename T> //从当前节点出发,沿左分支不断深入,直至没有左分支的节点
static void goAlongLeftBranch ( BinTreeNode<T> * x, Stack<BinTreeNode<T> * >& S ) {
    while (x) { S.push(x); x = x->LeftChild; } //当前节点入栈后随即向左侧分支深入,迭代直到无左孩子
}

template <typename T> //元素类型、操作器
void travIn_I(BinTreeNode<T> * root) {//二叉树先序遍历算法(迭代版)
   Stack<BinTreeNode<T> *> S; //辅助栈
   while ( true ) {
      goAlongLeftBranch ( root, S ); //从当前节点出发,逐批入栈
      if ( S.empty() ) break//直至所有节点处理完毕
      root = S.pop(); 
      cout << root->data; //弹出栈顶节点并访问之
      root = root->RightChild; //转向右子树
   }
}

也可以对代码稍加改进,将这两个方法写成一个方法:

template <typename T> //元素类型
void travIn_I2 ( BinTreeNode<T>* root ) //二叉树中序遍历算法(迭代版#2)
   Stack<BinTreeNode<T>*> S; //辅助栈
   while ( true )
      if ( root ) {
         S.push ( root ); //根节点进栈
         root = root->LeftChild; //深入遍历左子树
      } else if ( !S.empty() ) {
         root = S.pop(); //尚未访问的最低祖先节点退栈
         cout << root->data; //访问该祖先节点
         root = root->RightChild; //遍历祖先的右子树
      } else
         break//遍历完成
}

后序遍历

递归

与前两个一样,二叉树的后序遍历算法可以很容易地用递归的方式实现。

template <typename T>
void travPost_R(BinTreeNode<T> * root) {//二叉树先序遍历算法(递归版)
    if (!root)
        return;
    travPost_R(root->LeftChild);
    travPost_R(root->RightChild);
    cout << root->data;
}

迭代

但是要想用迭代的方式实现后序遍历算法,则有一定的难度,因为左、右子树的递归遍历均严格地不属于尾递归。不过,仍可继续套用此前的思路和技巧,考虑一下,后序遍历中,首先访问的是哪个节点?答案就是二叉树的最高最左侧的叶子节点。

由于最高最左侧的叶子节点 V 可能是左孩子节点,也可能是右孩子节点,所以 V 与其父节点之间的联接用竖直的线表示。考查联接于 V 与树根之间的唯一通路(以粗线示意)。与先序与中序遍历类似地,自底而上地沿着该通路,整个后序遍历序列也可以分解为若干个片段。每一片段,分别起始于通路上的一个节点,并包括三步:访问当前节点,遍历以其右兄弟(若存在)为根的子树,以及向上回溯至其父亲节点(若存在)并转入下一片段。

基于以上理解,即可写出迭代式后序遍历算法。

template <typename T> //在以S栈顶节点为根的子树中,找到最高左侧叶节点
static void gotoHLVFL ( Stack<BinTreeNode<T>*>& S ) //沿途所遇节点依次入栈
   while ( BinTreeNode<T>* x = S.top() ) //自顶而下,反复检查当前节点(即栈顶)
      if ( x->LeftChild ) { //尽可能向左
         if ( x->RightChild ) S.push ( x->RightChild ); //若有右孩子,优先入栈
         S.push ( x->LeftChild ); //然后才转至左孩子
      } else //实不得已
         S.push ( x->RightChild ); //才向右
   S.pop(); //返回之前,弹出栈顶的空节点
}

template <typename T>
void travPost_I ( BinTreeNode<T>* root ) //二叉树的后序遍历(迭代版)
   Stack<BinTreeNode<T>*> S; //辅助栈
   if ( root ) S.push ( root ); //根节点入栈
   while ( !S.empty() ) {
      if ( S.top() != root->parent ) //若栈顶非当前节点之父(则必为其右兄),此时需
         gotoHLVFL ( S ); //在以其右兄为根之子树中,找到HLVFL(相当于递归深入其中)
      root = S.pop(); cout << root->data; //弹出栈顶(即前一节点之后继),并访问之
   }
}

层次遍历

在文章开头我们已经对层次遍历做了介绍,层次遍历严格按照自上而下、自左向右的顺序访问树的节点。所以我们需要用队列作为辅助,具体代码如下:

template <typename T> //元素类型
void travLevel ( BinTreeNode<T>* root ) //二叉树层次遍历算法
   Queue<BinTreeNode<T>*> Q; //辅助队列
   Q.enqueue ( root ); //根节点入队
   while ( !Q.empty() ) { //在队列再次变空之前,反复迭代
      BinTreeNode<T>* x = Q.dequeue(); cout << x->data; //取出队首节点并访问之
      if ( x->LeftChild ) Q.enqueue ( x->LeftChild ); //左孩子入队
      if ( x->RightChild ) Q.enqueue ( x->RightChild ); //右孩子入队
   }
}

好了,以上就是二叉树的几种常见的遍历方式,各位小伙伴看完如果有什么疑问或建议欢迎与我交流。

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这是我 2019 年的第 12 篇文章



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