简述香农采样定理

Posted 2023-04-25

参考技术A

香农采样定理，又称奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高大码元传输速率的公式：理想低通信道的最高大码元传输速率B=2W，信息传输速率C=B*log2N 。（其中W是理想低通信道的带宽，N是电平强度）

采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农 与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。

压缩感知合集3压缩感知的背景与意义

【压缩感知合集1】（背景知识）香农奈奎斯特采样定理的数学推导和图解分析
【压缩感知合集2】（背景知识）信号稀疏表示的数学推导和解释理解
【压缩感知合集3】压缩感知的背景与意义
【压缩感知合集4】（背景知识）理想采样信号和随机采样信号两种采样信号的频谱分析，以及采样效果比较

1 压缩感知的背景

大约有70%的信息是通过人眼获得的视频和图像信息

视频图像信息是人类最重要的获取信息的方式。

视频图像信息丰富数据量大

信号采样传输存储有巨大的压力

在数据的存储和传输方面， 传统的做法是先按照奈奎斯特采样获取数据， 然后将获得的数据进行压缩， 最后将压缩后的数据进行存储或传输。显然， 这样的方式造成很大程度的资源浪费

人们对信息的获取有两方面的需求

• 信息质量高，信息数量大（帧率高，像素清晰）
• 信息传输速度快

2 压缩感知的意义

2.1 意义

最重要的价值实现降低采样率，同时减少信息量

通过降低采样率所带来的一些实践意义

• 花费在采样上的总时间时间变短
• 高速采样硬件的需求降低
• 对硬件设备的损耗变低
• 花费在采样上的电能变小

通过减少信息量所带来的的一些时间意义

• 所需要传递的信息变少，减少特殊环境下的带宽限制
• 用于传递信息的能量变小
• 用于存储的损耗和硬件开销变小

2.2 主要应用领域和实践简述

2.2.1 主要的应用方向

• MRI（核磁共振）、数字减影血管造影技术
• 无人机
• 广播
• 传感器
• 航空航天
• 水下传感器
• 硬件实现的主要有单像素数码相机
• 单景光谱成像装置
• 天文学观测
• 军事侦查
• 资源探测

2.2.2 电能的问题

最大程度限制远距离传输设备的掣肘主要来自与能量，远端传输设备主要将电能使用在信号采样和信号预处理以及信号传输上，压缩感知远远低于奈奎斯特采样频率的采样可以做到节约大量的信号采样的和信号传输的损失，因为他的采样信号很少，所以可以较少次数的进行随机采样，同时传输的信号也会小很大一个数量级。虽然会对恢复端造成一定的回复压力和更大的能量损失，但是这仍然是一个很大的优势，因为大部分的恢复段都有着较为充足的能量和设备（不需要因为场地或者阶段的条件限制自己的能量和数据存储量）。

2.2.3 采样时间的问题

这一部分的优势主要被集中用在了医疗图像的处理上面，最重要的一个使用场景即为核磁共振（MRI）采样时间过长所带来的四个弊端

• 幽闭恐惧症患者会出现极大地不适合，导致核磁共振的采样不可实施，为医生患者都带来了较大的不便。

• 采样时间较长会带来的问题就是因为呼吸运动或者人体自然的肌肉反应，所带来的在采样过程中的位置变化，这会对最后的成像图片产生运动伪影（因为在不能保证在较长的采样时间内获得相同的反射信息），极大地影响了采样图片的精度和可辨识度。

• 长时间的成像会对身体造成一定的损伤，如果说需要经常做成像检测，那么降低每一次的成像检测时间就可以对身体所造成的损伤降低到最低。

• 采样和成像设备使用寿命的问题，降低每一次采样所需要的的采样次数，假设大型硬件在一定范围内采样次数上可以保持精度，那么就可以最大程度上的延长大型设备的使用时间，因为可以服务于更多的患者。

2.2.4 信道的问题

大部分有线传播其实已经不受限于速度的限制。但是在水下，航空航天，高原等地区由于信号传输的信道带宽是极其有限的，这个时候就希望在信号传输前的压缩或者编码阶段，能尽可能在数据可恢复到可容忍限度内的进行压缩，以缓解带宽的压力。