压缩感知合集1（背景知识）香农奈奎斯特采样定理的数学推导和图解分析
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了压缩感知合集1（背景知识）香农奈奎斯特采样定理的数学推导和图解分析相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
【压缩感知合集1】（背景知识）香农奈奎斯特采样定理的数学推导和图解分析
【压缩感知合集2】（背景知识）信号稀疏表示的数学推导和解释理解
【压缩感知合集3】压缩感知的背景与意义
【压缩感知合集4】（背景知识）理想采样信号和随机采样信号两种采样信号的频谱分析，以及采样效果比较
香农奈奎斯特采样定理
1 评价
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支配先阶段几乎所有信号的获取、处理、存储、传输过程。
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采样后再进行压缩的方式浪费了大量的采样资源， 如果采样后的信号长度仍然很长， 那么变换会消耗很长时间。
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由于需要保留的 K K K个重要分量的位置是随着信号的不同而不同，所以这种编解码方式是自适应的，需要分配多余的存储空间以保留 K K K个重要分量的位置。
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K K K个重要分量有可能在传输过程中丢失其中的某几个分量从而造成较差的抗干扰能力。
2 数学解释
傅里叶分析示意图
数学模型证明
输入连续信号 x a ( t ) x_a(t) xa(t)
采样输出信号 x s ( t ) x_s(t) xs(t)
通常意义上采样的过程是一段周期的矩形脉冲载波信号 S ( t ) S(t) S(t)，信号周期为 T T T，宽度为 τ \\tau τ， τ \\tau τ越小采样越精准（理解：保留的值越接近时序点的对应值），当 τ < < T \\tau<<T τ<<T的时候，采样脉冲信号接近于 δ \\delta δ函数信号 S ( t ) = ∑ − ∞ ∞ δ ( t − n T ) S(t)=\\sum_{-\\infty}^{\\infty} \\delta(t-n T) S(t)=∑−∞∞δ(t−nT)
理想采样
x s ( t ) = x a ( t ) s ( t ) x_{s}(t)=x_{a}(t) s(t) xs(t)=xa(t)s(t)
信号 x a ( t ) x_a(t) xa(t)的傅里叶变换
X a ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ x a ( t ) e − j ω t d t X_{a}(j \\omega)=\\int_{-\\infty}^{\\infty} x_{a}(t) e^{-j \\omega t} d t Xa(jω)=∫−∞∞xa(t)e−jωtdt
信号 S ( t ) S(t) S(t)的傅里叶变换
S ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ S ( t ) e − j ω t d t S(j \\omega)=\\int_{-\\infty}^{\\infty} S(t) e^{-j \\omega t} d t S(jω)=∫−∞∞S(t)e−jωtdt
信号 x s ( t ) x_s(t) xs(t)的傅里叶变换
X s ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ x s ( t ) e − j ω t d t X_{s}(j \\omega)=\\int_{-\\infty}^{\\infty} x_{s}(t) e^{-j \\omega t} d t Xs(jω)=∫−∞∞xs(t)e−jωtdt
对于理想采样 x s ( t ) = x a ( t ) s ( t ) x_{s}(t)=x_{a}(t) s(t) xs(t)=xa(t)s(t) 有时域相乘对应频域卷积
X s ( j ω ) = 1 2 π X a ( j ω ) ∗ S ( j ω ) X_{s}(j \\omega)=\\frac{1}{2 \\pi} X_{a}(j \\omega) * S(j \\omega) Xs(jω)=2π1Xa(jω)∗S(jω)
根据补充证明可以知道
S ( j ω ) = 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω − k ω s ) S(j \\omega)=\\frac{2 \\pi}{T} \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} \\delta\\left(\\omega-k \\omega_{s}\\right) S(jω)=T2π∑k=−∞∞δ(ω−kωs)
所以
X
s
(
j
ω
)
=
1
2
π
[
2
π
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
k
ω
s
)
∗
X
a
(
j
ω
)
]
=
1
T
∫
−
∞
∞
X
a
(
j
θ
)
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
k
ω
s
−
θ
)
d
θ
\\begin{aligned} &X_{s}(j \\omega)=\\frac{1}{2 \\pi}\\left[\\frac{2 \\pi}{T} \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} \\delta\\left(\\omega-k \\omega_{s}\\right) * X_{a}(j \\omega)\\right] \\\\ &=\\frac{1}{T} \\int_{-\\infty}^{\\infty} X_{a}(j \\theta) \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} \\delta\\left(\\omega-k \\omega_{s}-\\theta\\right) d \\theta \\end{aligned}
Xs(jω)=2π1[T2πk=−∞∑∞δ(ω−kωs)∗Xa(jω)]=T1∫−∞∞Xa(jθ)k=−∞∑∞δ(ω−kωs−θ)dθ
根据冲击函数的性质（见下图的冲激函数示意图）
可以得到下面的公式推导
X
s
(
j
ω
)
=
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
X
a
(
j
ω
−
j
k
ω
s
)
X_{s}(j \\omega)=\\frac{1}{T} \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} X_{a}\\left(j \\omega-j k \\omega_{s}\\right)
Xs(jω)=T1k=−∞压缩感知合集2（背景知识）信号稀疏表示的数学推导和解释理解