动态规划——最大连续子序列和

Posted 2021-08-01 牧空

问题

给定一个序列 { A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n } \\{A_1,A_2,A_3,...,A_n\\} {A1​,A2​,A3​,...,An​},找出其中一个连续的子序列 { A i , A i + 1 , . . . , A j } \\{A_i,A_i+1,...,A_j\\} {Ai​,Ai​+1,...,Aj​}使得这个连续的子序列的和最大

分析

• 最基础的方法就是枚举左右两个端点,计算其间的子序列之和,时间复杂度$O(n^3)$
• 采用记录前缀的方法预处理$S_i=A_1+\cdot \cdot \cdot +A_i$,使得计算子序列之和的复杂度降为$O(1)$,然后再通过枚举左右端点,计算所有子序列之和,时间复杂度为$O(n^2)$
• 使用动态规划可将时间复杂度降为$O(n)$
  • 设置一维数组dp[],令 dp[i]表示以A[i]作为结尾的连续序列的最大和
  • 当最大和的连续序列只有一个元素,即dp[i] = A[i]
  • 有多个元素时dp[i] = A[j]+...+A[i-1]+A[i] 等价于dp[i-1]+A[i]
  • 所以dp[i] = max{A[i],dp[i-1]+A[i]}

例题

描述
给出一个整数序列S，其中有N个数，定义其中一个非空连续子序列T中所有数的和为T的“序列和”。 对于S的所有非空连续子序列T，求最大的序列和。 变量条件：N为正整数，N≤1000000，结果序列和在范围（-2⁶³,2⁶³-1）以内。
输入描述：
第一行为一个正整数N，第二行为N个整数，表示序列中的数。
输出描述：
输入可能包括多组数据，对于每一组输入数据， 仅输出一个数，表示最大序列和。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 1000001

using namespace std;

long long order[MAXN];
long long dp[MAXN];

long long MaxSubsequence(int n)
{
    dp[0] = order[0];
    long long maximum = dp[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        dp[i] = max(order[i], dp[i - 1] + order[i]);
        maximum = max(maximum, dp[i]);
    }
    return maximum;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n = 0;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        memset(order, 0, sizeof(order));
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%lld", &order[i]);
        }
        long long answer = MaxSubsequence(n);
        printf("%lld\\n", answer);
    }
    return 0;
}