[H背包] lc1449. 数位成本和为目标值的最大数字(背包求具体方案+状态定义+边界情况)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

文章目录

• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：1449. 数位成本和为目标值的最大数字

相关：

• [背包] 背包问题算法模板(模板)
• 本题模型 [01背包] 背包问题求具体方案(01背包+求方案数+思维)

2. 题目解析

完全背包求具体方案的问题，是 [01背包] 背包问题求具体方案(01背包+求方案数+思维) 的变种。

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首先如果要使满足要求的拼的数最大，有两个要求：

• 位数尽量大
• 位数相同，字典序最大

有限制的组合问题求最优解，一般会对应到背包问题。 在此就是从 1~9 中选，要求花费总和等于 target，让拼出来的数最大。

抽象为背包问题，背包容量为 target，9 个物品，物品体积为 cost[i]，物品价值为 1。

故问题转化为，给定 9 个物品，一个背包，求在恰好装满背包的情况下，总价值最大的所有方案中字典序最大的一个方案。 至此，已经完全转化为 [01背包] 背包问题求具体方案(01背包+求方案数+思维)。

但是，背包问题中细节很多，背包恰好装满、至多装满、物品次数限制等。在循环、初始化方面有所不同。

完全背包、01 背包的状态转移方程对比：

f[i][j] 表示前 i 个物品恰好装 j 体积的最大价值
完全背包：f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-cost[i]]+1);
01背包：f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-cost[i]]+1);

这样就能求出最大价值，即最大的位数。求方案就是倒推一遍即可，这个方案就是字典序最大的方案，即要求我们尽可能选 9，如果不能选 9 再选 8，同理往后选即可。

答案为 f[9][target]，它有两种转移情况：

• 不选 9，则 f[9][target]=f[8][target]。
• 选 9 则 f[9][target]=f[9][target-cost[9]]+1。
• 即只需要从后往前进行倒推即可，当选 9 和不选 9 都一样时，我们要将 9 选上，保证字典序尽量大。

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注意本题的初始化方式，本题背包定义是前 i 个物品恰好装满 j 体积的最大价值，故当一个物品都没有时，它是没有体积的，无法恰好装满 j 体积，自然没有价值

初始化时，f[0][1~target] 均是非法方案，不能像以往一样直接将其置为 0，而是要将其置为 -INF，视为非法情况。

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时间复杂度：$O(nm)$ 物品数量 x 最大容量=9 * 5000

空间复杂度：$O(nm)$

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class Solution {
public:
    string largestNumber(vector<int>& cost, int target) {
        vector<vector<int>> f(10, vector<int>(target + 1));

        // 本题保证恰好装满背包，即 0 物品时，体积一定是 0，体积不为 0 则均是非法情况，赋为最小值即可
        for (int i = 1; i <= target; i ++ ) f[0][i] = -1e8;

        for (int i = 1; i <= 9; i ++ )
            for (int j = 0; j <= target; j ++ ) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                if (j >= cost[i - 1]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - cost[i - 1]] + 1);
            }

        // 无解情况，1 个数都没选
        if (f[9][target] < 1) return "0";
        
        // 倒推求方案，保证字典序最大
        string res;
        for (int i = 9, j = target; i; i -- ) {
            while (j >= cost[i - 1] && f[i][j] == f[i][j - cost[i - 1]] + 1) {
                res += to_string(i);
                j -= cost[i - 1];
            }
        }

        return res;
    }
};