剑指Offer面试题：10- I 斐波那契数列

Posted 2021-07-27 一只前端小马甲

算法不是金庸武侠小说里硬核的”九阳真经“，也不是轻量的”凌波微步“，它是程序员的基本功，如同练武之人需要扎马步一般。功夫好不好，看看马步扎不扎实；编程能力强不强，看看算法能力有没有。本系列采用leetcode题号，使用javascript为编程语言，每篇文章都会逐步分析解题思路，最终给出代码。文章一方面是记录笔者在刷题中的思路，已备学而时习之，另一方面也希望能跟大牛们多交流。有更高效的解法，或者文章有什么问题，都欢迎提出来，望诸位不吝赐教。

目录

• • 一、题目：斐波那契数列
  • 二、小马甲思路
  • 三、小马甲题解
  • 四、总结

一、题目：斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) +F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回1。

示例1：

输入：n = 2
输出：1

示例2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

• 0 <= n <= 100

二、小马甲思路

看看这定义

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) +F(N - 2), 其中 N > 1.

有边界条件

F(0) = 0, F(1) = 1

可以重复调用自身函数

F(N) = F(N - 1) +F(N - 2), 其中 N > 1.

还等什么，递归给👴冲！等等，每当脑子热的时候我们要冷静一下，题目中的 n 最大可以取100，这递归起来有点可怕了。

以n=3为例，可以把递归的过程表示成类似二叉树，需要遍历所有分支才能计算出结果。

我们都知道JS的执行上下文是存在栈里的，那么内存的使用情况如下：

品红色的框表示正在函数调用栈中的执行上下文，只有在相应的函数执行完并返回时才会被垃圾回收。

n=3时看起来并没有占用多少内存，但是我们来看看n=8的模拟递归过程的二叉树。

然后来感受下内存使用。

如果n=100呢，可以预见，计算过程会占用太久内存和cpu。为什么会这样呢？归根结底，递归进行了太多次重复运算。

我们把n=8的模拟二叉树简化下。

左边分支中计算了fib(6)和fib(5)，右边分支又计算了f(6)和f(5)，实际整个递归过程中，大量的都是重复运算。

递归运算会占用太久的内存和cpu，我们必须减少重复的运算。怎么办呢？回归本初，如果没有计算机，你会怎么计算斐波那契数呢?

1. f(0) = 0
2. f(1) = 1
3. f(2) = f(0) + f(1) = 1
4. f(3) = f(2) + f(1) = 2
5. …
6. f(100) = f(99) + f(98)

不就是从小到大，一个个加上去吗，这也是我们这道题的核心思想：“从下往上计算”。你可能会说这有点笨，你也算不过来，实际上比起递归方法计算万亿次，计算100次的工作量不够计算机塞牙缝的。

三、小马甲题解

首先，从下往上算，那我们应该初始化“下”的值。

已知斐波那契数的定义为：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) +F(N - 2), 其中 N > 1.

根据斐波那契数的定义：

F(0) = 0, F(1) = 1

不妨变量a初始化为0，变量b初始化为1。

const fib = function(){
	let a = 0,
		b = 1;
}

根据递推公式

F(N) = F(N - 1) +F(N - 2), 其中 N > 1.

不妨给a、b换个名字，容易理解

const fib = function(n){
	let twoFront = 0,	// 隔两位的斐波那契数
		oneFront = 1;	// 隔一位的斐波那契数
		fibN;			// n对应的斐波那契数
}

接着，从下往上的过程，实际上是索引规律递增过程，可以用循环来解决。

const fib = function(n){
	let twoFront = 0,	// 隔两位的斐波那契数
		oneFront = 1;	// 隔一位的斐波那契数
		fibN;			// n对应的斐波那契数

	for(let i=2; i<=n; i++){
		// 计算过程
	}
}

计算过程依据斐波那契数的定义

1. 已知第一二个的数，计算出第三个数
2. 已知第二三个的数，计算出第四个数
3. 已知第n-2、n-1个数，计算出第n个数

所以我们很容易找到相邻斐波那契数的计算关系，代码实现如下

const fib = function(n){
	let twoFront = 0,	// 隔两位的斐波那契数
		oneFront = 1;	// 隔一位的斐波那契数
		fibN;			// n对应的斐波那契数

	for(let i=2; i<=n; i++){
		fibN = twoFront + oneFront;	// i对应斐波那契数
		twoFront = oneFront;		// i+1隔两位的斐波那契数
		oneFront = fibN;			// i+1隔一位的斐波那契数
	}
}

最后，我们不能忘了边界条件的判断，以及对值取模（n比较大时对应的斐波那契数很大，超过16位时可能存储的值不精确）

const fib = function(n){
//	let twoFront = 0,	// 隔两位的斐波那契数
//		oneFront = 1;	// 隔一位的斐波那契数
//		fibN;			// n对应的斐波那契数
	
	if(n===0){
		return 0;
	}else if(n===1){
		return 1;
	}
	
//	for(let i=2; i<=n; i++){
		fibN = (twoFront + oneFront) % (1e9+7);	// i对应斐波那契数
//		twoFront = oneFront;					// i+1隔两位的斐波那契数
//		oneFront = fibN;						// i+1隔一位的斐波那契数
//	}
//	return fibN;
}

我们的最终代码是这样的。

const fib = function(n){
	let twoFront = 0,	// 隔两位的斐波那契数
		oneFront = 1;	// 隔一位的斐波那契数
		fibN;			// n对应的斐波那契数
	
	if(n===0){
		return 0;
	}else if(n===1){
		return 1;
	}
	
	for(let i=2; i<=n; i++){
		fibN = (twoFront + oneFront) % (1e9+7);	// i对应斐波那契数
		twoFront = oneFront;					// i+1隔两位的斐波那契数
		oneFront = fibN;						// i+1隔一位的斐波那契数
	}
	return fibN;
}

四、总结

斐波那契数列是我们很熟悉的东西，本文先从常规的递归思路开始分析，解释了递归方法导致内存使用超时的原因，进而回归“从下往上”计算的思路，大大降低了计算机的工作量。从下往上只需要我们通过一个循环，再设置终止条件即可计算出最终的斐波那契数。值得注意的是：n很大时，对应的斐波那契数会很大，保存的时候可以取模处理。

基础知识关键字：递归、循环、斐波那契数列

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