概率论与数理统计:二维随机变量及其分布
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概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布
文章目录
一.多维随机变量
定义：
若
X
1
(
ω
)
,
X
2
(
ω
)
,
.
.
.
X
n
(
ω
)
X_1(\\omega),X_2(\\omega),...X_n(\\omega)
X1(ω),X2(ω),...Xn(ω)是样本空间
Ω
\\Omega
Ω={
ω
\\omega
ω}上的随机变量，则(
X
1
(
ω
)
,
X
2
(
ω
)
,
.
.
.
X
n
(
ω
)
X_1(\\omega),X_2(\\omega),...X_n(\\omega)
X1(ω),X2(ω),...Xn(ω))构成
Ω
\\Omega
Ω上的n维随机变量，简记为：
X
=
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
X
n
)
X=(X_1,X_2,...X_n)
X=(X1,X2,...Xn)
二.二维随机变量及其分布函数
设E是一个随机试验，S={e}为其样本空间，设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)和 Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机变量（或二位随机向量）
1.联合分布函数
①定义
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量， x , y x,y x,y为任意实数，称二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\\left\\{X\\leq x,Y\\leq y\\right\\} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数，or X X X和 Y Y Y的联合分布函数
注： F ( x , y ) \\\\F(x,y) F(x,y)表示事件 { X ≤ x } \\left\\{X\\leq x\\right\\} {X≤x}和 { Y ≤ y } \\left\\{Y\\leq y\\right\\} {Y≤y}同时发生的概率(其实就是把 P { ( X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } P\\{(X\\leqslant x)\\bigcap(Y\\leqslant y)\\} P{(X⩽x)⋂(Y⩽y)}记成了 P { X ≤ x , Y ≤ y } P\\left\\{X\\leq x,Y\\leq y\\right\\} P{X≤x,Y≤y})
为什么要研究联合分布呢？因为二位随机变量(X,Y)的性质不仅分别与X和Y有关，也与X与Y之间的相互关系有关，所以单独逐个研究X与Y是不够的，还需要将 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体进行研究
②性质
(1) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对x和y都是单调不减的，即：
(Ⅰ)固定 x x x,当 y 1 < y 2 y_1<y_2 y1<y2时， F ( x , y 1 ) ⩽ F ( x , y 2 ) F(x,y_1)\\leqslant F(x,y_2) F(x,y1)⩽F(x,y2)
(Ⅱ)固定 y y y,当 x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2时， F ( x 1 , y ) ⩽ F ( x 2 , y ) F(x_1,y)\\leqslant F(x_2,y) F(x1,y)⩽F(x2,y)
(2)连续性
F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x x x右连续，即 F ( x , y ) = F ( x + 0 , y ) F(x,y)=F(x+0,y) F(x,y)=F(x+0,y)
F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 y y y右连续，即 F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) F(x,y)=F(x,y+0) F(x,y)=F(x,y+0)
(3）
随机变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)落在矩形区域
(
x
1
,
x
2
]
×
(
y
1
,
y
2
]
(x_1,x_2]×(y_1,y_2]
(x1,x2]×(y1,y2]内的概率为
P
{
x
1
<
X
≤
x
2
,
y
1
<
Y
≤
y
2
}
=
F
(
x
2
,
y
2
)
−
F
(
x
2
,
y
1
)
−
F
(
x
1
,
y
2
)
+
F
(
x
1
,
y
1
)
P\\left\\{x_1<X\\leq x_2,y_1<Y\\leq y_2\\right\\}\\\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)
P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x以上是关于概率论与数理统计:二维随机变量及其分布的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章