概率论与数理统计:随机变量的数字特征
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了概率论与数理统计:随机变量的数字特征相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
概率论与数理统计(4):随机变量的数字特征
一.数学期望
引例：
频率与概率
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示。
1.离散型随机变量
①定义
设离散型随机变量X的分布列 P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , . . . P\\{X=x_k\\}=p_k,\\qquad k=1,2,... P{X=xk}=pk,k=1,2,...
若级数
∑
k
=
1
∞
x
k
p
k
\\sum\\limits_{k=1}^{\\infty}x_kp_k
k=1∑∞xkpk绝对收敛，则称级数
∑
k
=
1
∞
x
k
p
k
\\sum\\limits_{k=1}^{\\infty}x_kp_k
k=1∑∞xkpk为X的数学期望(简称期望）或均值，记为E(X) or EX，即
E
(
X
)
=
∫
−
∞
∞
x
f
(
x
)
d
x
E(X)=\\int^{\\infty}_{-\\infty}xf(x)dx
E(X)=∫−∞∞xf(x)dx
数学期望 E ( X ) E(X) E(X)完全由随机变量 X X X的概率分布所确定，若 X X X服从某一分布，也称 E ( X ) E(X) E(X)是这一分布的数学期望
②常见期望
| 分布类型 | 符号表示 | 数学期望 |
|---|---|---|
| 两点分布 | X ∼ B ( 1 , p ) X\\sim B(1,p) X∼B(1,p) | E X = p EX=p EX=p |
| 二项分布 | X ∼ B ( n , p ) X\\sim B(n,p) X∼B(n,p) | E X = n p EX=np EX=np |
| 泊松分布 | X ∼ P ( λ ) X\\sim P(\\lambda) X∼P(λ) | E X = λ EX=\\lambda EX=λ |
证明：
两点分布
设 X X X的分布列为 P { X = 1 } = p , P { X = 0 } = 1 − p = q P\\{X=1\\}=p,P\\{X=0\\}=1-p=q P{X=1}=p,P{X=0}=1−p=q,则 E X = 0 ⋅ ( 1 − p ) + 1 ⋅ p = p EX=0\\cdot(1-p)+1\\cdot p=p EX=0⋅(1−p)+1⋅p=p
二项分布
设
X
∼
B
(
n
,
p
)
,
X\\sim B(n,p),
X∼B(n,p),即
X
X
X的分布列为
P
{
X
=
k
}
=
C
n
k
p
k
q
n
−
k
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
,
0
<
p
<
1
,
q
=
1
−
p
P\\{X=k\\}=C_n^kp^kq^{n-k},k=0,1,\\cdots,n,0<p<1,q=1-p
P{X=k}=Cnkpkqn−k,k=0,1,⋯,n,0<p<1,q=1−p,则：
E
X
=
∑
k
=
0
n
k
C
n
k
p
k
q
n
−
k
=
∑
k
=
1
n
n
!
p
k
q
n
−
k
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
=
n
p
∑
k
=
1
n
(
n
−
1
)
!
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
p
k
−
1
q
n
−
k
=
令
m
=
k
−
1
n
p
∑
m
=
0
n
−
1
C
n
−
1
m
p
m
q
n
−
1
−
m
=
n
p
EX=\\sum_{k=0}^nkC_n^kp^kq^{n-k}=\\sum_{k=1}^n\\dfrac{n!p^kq^{n-k}}{(k-1)!(n-k)!}=np\\sum_{k=1}^n\\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{n-k}\\xlongequal{令m=k-1}np\\sum_{m=0}^{n-1}C_{n-1}^mp^mq^{n-1-m}=np
EX=k=0∑nkCnkpkqn−k=k=1∑n(k−1)!(n−k)!n!pkqn−k=npk=1∑n(k−1)!(n−k)!(n−1)!pk−1qn−k令m=k−1npm=0∑n−1Cn−1mpmqn−1−m=np
泊松分布
设 X ∼ P ( λ ) X\\sim P(\\lambda) X∼P(λ),即 X X X的分布列为 P { X = k } = λ k k ! e − λ , λ > 0 k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , P\\{X=k\\}=\\dfrac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}, \\quad \\lambda>0k=0,1,2,\\cdots, P{X=k以上是关于概率论与数理统计:随机变量的数字特征的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章