概率论与数理统计：一维随机变量及其分布
Posted 临风而眠
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了概率论与数理统计：一维随机变量及其分布相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
概率论与数理统计(2)：一维随机变量及其分布
一.随机变量
1.定义
设S是某随机试验的样本空间，如果对于每个e∈S，都有一个实数X(e)与其对应，则称X=X(e)为随机变量
注：随机变量用大写字母X,Y,Z表示
2.分类
①离散型：只能取有限个或可数个值
[eg]检验商品，抽取到的次品数
②连续型：取得某一区间内的任何数值
[eg]电视机寿命
二.离散型随机变量
1.离散型随机变量的分布列
| X | x1 | x2 | … | xn | … |
|---|---|---|---|---|---|
| P | p1 | p2 | … | pn | … |
注:
(
1
)
p
i
≥
0
(
2
)
∑
i
p
i
=
1
(1)p_i≥0\\\\ (2)\\sum_ip_i=1
(1)pi≥0(2)i∑pi=1
2.常见离散型随机变量
①两点分布（伯努利分布）
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P | 1-p | p |
注：记为
X
∼
(
0
−
1
)
，
或
X
∼
B
(
1
,
p
)
X\\sim(0-1)，或X\\sim B(1,p)
X∼(0−1)，或X∼B(1,p)
②二项分布
若随机变量X有分布列：
P
{
X
=
k
}
=
C
n
k
p
k
q
n
−
k
,
0
<
p
<
1
,
q
=
1
−
p
,
k
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
P\\left\\{X=k \\right\\}=C_n^kp^kq^{n-k},\\qquad0<p<1,\\quad q=1-p ,k=0,1,...,n
P{X=k}=Cnkpkqn−k,0<p<1,q=1−p,k=0,1,...,n
称X服从参数为n,p的二项分布，X~B(n,p)
理解：在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，
③几何分布
在重复独立试验中，事件A发生的概率为p，设X为直到A发生为止所进行的试验次数，则X的分布列为
P
{
X
=
k
}
=
q
k
−
1
p
,
k
=
1
,
2
,
.
.
.
P\\left\\{X=k\\right\\}=q^{k-1}p,\\qquad k=1,2,...
P{X=k}=qk−1p,k=1,2,...
则称X服从参数为p的几何分布，
X
∼
G
(
p
)
X\\sim G(p)
X∼G(p)
理解对几何分布有一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
④泊松分布
若随机变量X的分布列为
P
{
X
=
k
}
=
λ
k
k
!
e
−
λ
,
k
=
0
,
1...
P\\left\\{X=k\\right\\}=\\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda},\\qquad k=0,1...
P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1...
则称X服从参数为λ的泊松分布，X~P(λ)
3.随机变量的分布函数
①定义
设X是一个随机变量，x是任意实数，称函数
F
(
x
)
=
P
{
X
≤
x
}
F(x)=P\\left\\{X≤x\\right\\}
F(x)=P{X≤x}
为X的分布函数
P { x 1 < X ≤ x 2 } = P { X ≤ x 2 } − P { X ≤ x 1 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P\\left\\{x_1<X≤x_2\\right\\}=P\\left\\{X≤x_2\\right\\}-P\\left\\{X≤x_1\\right\\}=F(x_2)-F(x_1) P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}−P{X≤x1}=F(x2)−F(x1)
②性质
(1)
0 ≤ F ( x ) ≤ 1 , − ∞ < x < ∞ 0\\leq F(x)\\leq1,-\\infty<x<\\infty 0≤F(x)≤1,−∞<x<∞
(2)
若 x 1 < x 2 ， 则 F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) , 即 F ( x ) 是 单 调 非 减 的 若x_1<x_2，则F(x_1)\\leq F(x_2),即F(x)是单调非减的 若x1<x2，则F(x1)≤F(x2),即F(x)是单调非减的
(3)
F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\\infty)=0,\\quad F(+\\infty)=1 F(−∞)=0,F(+∞)=1
理解:从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即 x → − ∞ x\\rightarrow-\\infty x→−∞ )，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有 ;又若将点x无限右移（即 x − > → + ∞ x->\\rightarrow +\\infty x−>→+∞ )，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1
(4)
F ( x ) 右 连 续 ， 即 F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x)右连续，即F(x+0)=F(x) F(x)右连续，即F(x+0)=F(x)
这几条性质作为判断一个函数是否可作为分布函数的充要条件
4.定义（离散型随机变量的分布函数）
设离散型随机变量X的分布列为：
P
(
X
=
x
k
)
=
p
k
,
k
=
1
,
2
,
.
.
.
P(X=x_k)=p_k,\\quad k=1,2,...
P(X=xk)=pk,k=1,2,...
则X的分布函数为
F
(
X
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
∑
x
k
≤
x
P
(
X
=
x
k
)
F(X)=P(X\\leq x)=\\sum_{x_k\\leq x}P(X=x_k)
F(X)=P(X≤x)=xk≤x∑P(X=xk)
四.连续型随机变量
1.定义(连续型随机变量及其概率密度)
设F(X)是随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)，
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
,
F(x)=\\int^x_{-\\infty}f(t)dt,
F(x)=∫−∞xf(t)dt,
称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数
注：
(
1
)
f
(
x
)
≥
0
(
2
)
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
(1)f(x)\\geq0 \\qquad (2)\\int^{+\\infty}_{-\\infty}f(x)dx=1
(1)f(x)≥0(2)以上是关于概率论与数理统计：一维随机变量及其分布的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章