y=x^sinx（y=x的sinx次方）为什么不能用复合函数直接求导数？

Posted 2021-07-03 LaoYuanPython

最近正在学习导数，在看书上的例题：

但老猿在想，这为什么不用复合函数求导呢？于是自己试了一下用复合函数求导来求解：
y’=(x^sinx)’=sinx*x^sinx-1*cosx
表达式结果相差很大，用x=π/2去计算值也完全不同，这说明这种方法肯定不对。那问题出在哪里呢？

在网上仔细查了一下，在知乎上看到了这样一段话：

x^n求导等于n*x^(n-1)你用了这个公式其实这个公式存在一个隐含的要求：
就是指数n必须和x无关你用了这个公式显然不满足这个要求，因此这样的使用是错误的。
硬要这么做也可以就是把指数sinx暂时设为一个与x无关的变量z，
有：
z=sinx这样函数变为：
y=x^z对其求全微分dy=z*x^(z-1)dx+lnx*x^zdz
注意此时x和z各为独立的变量。
由z=sinx，对两边微分得：
dz=cosxdx把z和dz换成sinx和cosxdx得：
dy=sinx*x^(sinx-1)dx+lnx*x^sinx*cosxdx=x^sinx(cosx*lnx+sinx/x)dx
结果与方法一一致

作者：匿名用户
链接：https://www.zhihu.com/question/407955733/answer/1597058528
来源：知乎

就是说使用复合函数方式求导的要求是，两个函数之间，前一个函数应该包含所有自变量部分的表达式，后一个函数只接受前一个函数返回的整体中包含的自变量参与后续运算，而不能将一个函数中包含有自变量的部分拆成两部分分别在两个函数中使用。例如函数：f(x)=lnxsinx中，只能将xsinx当成前一个函数，不能将sinx当成前一个函数，lnxsinx再作为复合函数。

小结：
本文介绍了y=x的sinx次方为什么不能直接适用复合函数求导的原因，复合函数求导一定要把两个函数看成相互独立没有耦合变量的，第一个函数输出的整体作为第二个函数的输入。

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