类约瑟夫环问题

Posted 2021-06-29 Harris-H

类约瑟夫环问题

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问题描述

聚会游戏：N 个人聚餐，编号从 1 到 N。从编号为 1 的人开始报数，报到M 的人喝一杯酒。下一个人再从 1 开始报数，如此循环往复。其中有一人非常讨厌喝酒，问他有没有机会不喝酒？他该如何做，为什么?

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解答

​ 有机会。如果 $N$ 与 $M$ 的最大公约数不为 1，就有机会。假设 $K$ 为 $N$ 和 $M$ 的最小公倍数$(lcm)$，那么喝酒次数 $\frac{K}{M}$ 次，会回到原点。因为$NM=gcd\times lcm=gcd\times k$，如果 $gcd=1$，那么 $\frac{K}{M}=N$,会把所有编号访问。

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解析

​ 考虑从$1$开始报数第一次回到$1$的情况，假设一共有$a$次循环，进行了$b$轮。

即：$aN=bM$，因为要第一次回到$1$，所以$aN$要尽可能的小，所以$aN$为$N,M$的最小公倍数是最优的，$lcm(N,M)=aN$

所以$aN=\frac{N\times M}{gcd(N,M)}=bM$

即：$N=b\times gcd(N,M)$

当$gcd(N,M)=1$时，会有$\frac{N}{1}=N$个不同的人被喝酒，所有的人都会喝酒。

所以没有人没有机会不喝酒。

当$gcd(N,M)\ne 1$时，$b=\frac{N}{gcd(N,M)}<N$，所以必定存在某一个人可以不喝酒。

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​ 此问题与约瑟夫环问题十分类似，该问题是在约瑟夫环的问题上，不进行删除数字。