力扣技巧之动态规划力扣53：最大子数组和C++

Posted 2021-06-29 The Gao

原题

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

分析

可能很多同学看到是子数组的题目，下意识会想到使用【滑动窗口】的解法进行求解，这其实是一种非常好的条件反射。但是针对这道题目，滑动窗口的解法却不能很好地求解。

滑动窗口解法框架中最重要的一点就是左指针和右指针的移动，滑动窗口通过左指针的移动缩小窗口，通过右指针的移动扩大窗口，当然左指针和右指针的移动都有相应的根据。

如【力扣3：最长无重复子串】中，右指针的移动依据就是while(right<s.size())，即右指针还没有超过给定字符串s的范围时就可以进行right++，即窗口的扩大；而左指针的移动依据则是while(window[ch]>1)，即右指针的扩大导致窗口内的子串出现了重复的字符，此时进行left++，即窗口的缩小。

在本题中，对于给定的数组nums，我们执行窗口扩大操作后，窗口内数字累加后的结果可能为正也可能为负，可能比原来大也可能比原来小，因此很难作为左指针和右指针移动的判断依据。

因此采用【动态规划】的解法。采用动态规划的解法，首先要找到状态，其次确定base case，再者定义一个适宜采用动态规划的dp数组，然后要找到状态转移方程，最后求得题解。

对于本题，可供选择的状态有两个，一个是以nums[i]结尾的最大子数组和，一个是[0,1,2…i-1]中的最大子数组和。如果从返回值的角度来说，似乎后者要更优秀，直接返回dp[n]即为题解。但是当我们写状态转移方程的时候，就会发现后者的状态转移方程是写不出来的，因为子数组要求必须是连续的几个位置上的数字，虽然假设已知的dp[i-1]是[0,1,2…i-1]的最大子数组和，但并不知道它的结尾是哪个数字，也就不知道dp[i-1]与dp[i]之间的关系。

基于上述分析，我们选择前者作为dp数组的意义。那么base case其实就是以nums[i]结尾的最大子数组和，nums[0]前面没有别的数字了，因此dp[0]=nums[0]。

状态转移方程也很好写了，因为dp[i-1]是以nums[i]结尾的最大子数组和，那么对于nums[i]这一元素来说，无非两种选择，加或不加dp[i-1]，取其中较大的一种情况即可。

对于题解来说，因为你也不知道最大子数组和是以nums中的哪个元素结尾产生的，因此要遍历一次dp数组，记录最大值。这个过程也可以跟随状态转移方程一同进行，对于时间复杂度和空间复杂度的消耗是一样的。

整个解法的时间复杂度是O(n)，即一次遍历；空间复杂度也为O(n)，即dp数组消耗的内存。

代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size()==1)return nums[0];
        /*dp[i]:以nums[i]结尾的最大子数组和*/
        vector<int>dp(nums.size());
        int maxsum=nums[0];
        /*base case*/
        dp[0]=nums[0];
        /*状态转移方程及最大值记录*/
        for(int i=1;i<nums.size();i++){
            dp[i]=max(nums[i],nums[i]+dp[i-1]);
            maxsum=max(maxsum,dp[i]);
        }
        return maxsum;
    }
};