牛客小白月赛35 J.溪染的优惠券(贪心01背包)

Posted 2021-06-29 issue是fw

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有点像$01$背包,但是又不完全是

原因在于使用的物品有限制,使得物品的使用次序是未知的

这样显然无法扫一遍做$01$背包

如果按照$a_i$排序也是不对的,限制大的不一定先使用

若使用变为$k-b_i$,这样中间错过了许多小型优惠劵,可能先使用中间的才更优

于是想到按照$a_i-b_i$排序,直接做$01$背包即可.

这样选择物品的顺序满足$a_i-b_i>a_j-b_j$

如果只选择$i,j$优惠券中的一个,那么顺序是无所谓的,$01$背包会考虑到

如果需要同时选择$i,j$物品,那么按照$i,j$的顺序$dp$一定是可行的

反证法

设按照$j,i$的顺序选可行得到$k>=a_j\&\&k-b_j>=a_i$

按照$i,j$顺序选优惠券不可行得到$k>=a_i\&\&k-b_i<a_j$

我们得到$k>=a_i+b_j\&\&k<a_j+b_i$,也就是$a_j+b_i>a_i+b_j$

而因为$a_i-b_i>a_j-b_j$,移项得到$a_i+b_j>a_j+b_i$

显然矛盾,证毕,不存在这种情况.

也就是说,按照$i,j$这种方式排序不会错,直接做$01$背包即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e4+10;
int n,k,vis[maxn],s[maxn],f[maxn];
typedef pair<int,int>p;
p a[maxn];
bool com(p a,p b)
{
	if( a.first-a.second==b.first-b.second )	return a.first<b.first;
	return a.first-a.second>b.first-b.second;
}
int main()
{
	cin >> n >> k;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin >> a[i].first >> a[i].second;
	f[k] = 1;
	sort( a+1,a+1+n,com );
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=a[i].first;j<=k;j++)
		f[j-a[i].second] |= f[j];
	int ans = k;
	for(int i=0;i<=k;i++)
		if( f[i] ){	cout << i; return 0; }
}