人工智能数学基础01--高等数学基础（函数的连续和间断）

Posted 2021-06-28 剑威

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了人工智能数学基础01--高等数学基础（函数的连续和间断）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

函数的连续性

函数在一点处连续：设 f(x) 在 $x=x_{0}$ 的某邻域 $U(x_{0})$ 有定义，且 $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 。则称 f(x) 在 $x=x_{0}$ 处连续。换句话说，如果当自变量的改变量 $\\Delta x$ 趋近于零时，相应的函数值的改变量 $\\Delta y$ 也趋近于零，则称 y= f(x) 在点 $x_{0}$ 处连续。

函数在一点处左连续：设 f(x) 在 $x=x_{0}$ 的左侧某邻域 $x_{0} - \\delta < x \\leqslant x_{0}$ 有定义，且 $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$ ，则称 f(x) 在 $x=x_{0}$ 处左连续，类似地可以定义右连续。

函数在内， $\\left [ a,b \\right ]$ 上连续：设 f(x) 在 (a,b) 内每一点处都连续，则称 f(x) 在 (a,b) 内连续。定义 f(x) 在 [a,b] 上连续，其中在 x=a 处指的是右连续， x=b 处指的是左连续。

函数的间断点

第一类间断点：设 f(x) 在 $x=x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，如果 $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在，但 $f(x_{0})$

无定义，或者虽然有定义，但与 $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}} f(x)$ 不相等，称 $x=x_{0}$ 为 f(x) 的可去间断点。

设 f(x) 在 $x=x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，如果 $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ 与 $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 都存在，但不相等，称 $x=x_{0}$ 为 f(x) 的跳跃间断点。此时不论 $f(x_{0})$ 是否存在，存在时等于什么都无关。

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。

第二类间断点：

设 f(x) 在 $x=x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，如果 $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ 与 $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 至少有一个不存在，称 $x=x_{0}$ 为 f(x) 的第二类间断点，第二类间断点又可细分为无穷间断点，振荡间断点等。

例如： $f(x)=\\frac{1}{x}$ 在 x=0 处为无穷间断点； $g(x) =sin\\frac{1}{x}$ 在 x=0 处为振荡间断点。

重要性质、定理、公式

连续函数的四则运算：设 u(x) 与 v(x) 在 $x=x_{0}$ 处连续，则四则运算之后所成的函数在 $x=x_{0}$ 处也连续（除法运算时要求分母不为零）。

复合函数的连续性：设 f(u) 在 $u=u_{0}$ 处连续， g(x) 在 $x=x_{0}$ 处连续，且 $g(x_{0}) = u_{0}$ ，则复合函数 f(g(x)) 在 $x=x_{0}$ 处亦连续。

基本初等函数的连续性：基本初等函数在它的定义域上都是连续的。

初等函数的连续性：初等函数正它的定义域的区间内都是连续的。

闭区间上的连续函数的性质：设 f(x) 在闭区间 $\\left [ a,b \\right ]$ 上连续，则它具有下列性质：

在 $\\left [ a,b \\right ]$ 上有界（称为有界性定理）；
在 $\\left [ a,b \\right ]$ 上有最大值与最小值(称为最值定理)；
设 $\\mu$ 满足 $m\\leqslant \\mu \\leqslant M$ ，和分别为在 $\\left [ a,b \\right ]$ 上的最小值与最大值，则至少存在一点 $\\xi \\in \\left [ a,b \\right ]$ ，使 $f(\\xi )=\\mu$ （称为介值定理）；（若 $\\mu$ 满足 $m<\\mu <M$ ，则 $\\xi \\in (a,b)$ 。）
设，则至少存在一点 $\\xi \\in (a,b)$ ,使 $f(\\xi )=0$ （称为零点定理）。

以上是关于人工智能数学基础01--高等数学基础（函数的连续和间断）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

人工智能数学基础01--高等数学基础（函数的连续和间断）

高等数学，函数连续性问题

人工智能数据基础01--高等数据基础（函数）