棋盘覆盖问题——分治法——代码清晰易懂

Posted 2021-06-07 我是一颗大萝北

一、运行环境

DevC++

二、题目描述

棋盘覆盖问题。有一个2^k × 2^k个方格的棋盘，其中恰有一个方格残缺。用下面四种三格板覆盖更大的棋盘。

要求：
①两个三格板不能重叠。
②三格板不能覆盖残缺方格，但必须覆盖其他所有的方格。
用以下形式进行结果输出

三、问题分析

采用分治的方法解决该问题。把2k×2k的棋盘分为4个2k-1×2k-1的子棋盘，使问题规模变小，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。

该问题属于二分法不相似的情况：分割后的4个子棋盘只有一个带有残缺。分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且每个子棋盘均包含一个残缺方格，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。k>0时，可将2k×2k的棋盘划分为4个2k-1×2k-1的子棋盘。这样划分后，由于原棋盘只有一个残缺方格，所以，这4个子棋盘中只有一个子棋盘包含该残缺方格，其余3个子棋盘中没有残缺方格。为了将这3个没有特殊方格的子棋盘转化为残缺棋盘，以便采用递归方法求解，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。

四、算法设计

1. 怎样表示一个棋盘

三要素：棋盘左上角的横坐标、纵坐标、棋盘边长

2.存储结构设计

（1）需要有一个二维数组来标记棋盘，设为全局变量，从i=1,j=1开始储存标记
（2）L型的位置，需要用“111”、“222”…“nnn”来标记，这就需要设置一个计数的变量，每次递归让这个计数变量自加1

3. 递归设计

整体来说，是进行一个深度优先的遍历：

4. 一次递归的设计

于一整个棋盘来说，残缺的位置分为4种情况：
①残缺在左上角子棋盘中
②残缺在右上角子棋盘中
③残缺在左下角子棋盘中
④残缺在右下角子棋盘中

对于每一个子棋盘，分为两种情况：
①残缺在子棋盘内，不需要用L型覆盖一个格子
②残缺不在子棋盘内，需要用L型覆盖一个格子

对于一整个棋盘来说，残缺的位置分为4种情况，这就需要用到4个if语句。
对于每一个子棋盘，分为两种情况，这就需要上述的4个if语句中都具备一个else分支。

五、代码

#include <stdio.h>

int chess[65][65]={0};
//从chess[1][1]开始存放 
static int t=0;
int m;
void cover(int a,int b,int dr,int dl,int length);

int main(){
    int n,a,b,dr,dl,length;
    //a,b是子棋盘左上角的行号和列号
    //dr，dl是特殊点的行号和列号
    //length是棋盘宽度 
    printf("请输入棋盘大小（1~64之间的整数）：");
    scanf("%d",&length);
    printf("请输入残缺行号dr:");
    scanf("%d",&dr); 
    printf("请输入残缺列号dl:");
    scanf("%d",&dl);
    a=b=1;
    m=length;
    
    cover(a,b,dr,dl,length);
    
    for(int i=1;i<=m;i++){ //输出结果,都从1号开始存放的 
        for(int j=1;j<=m;j++){
            printf("%4d",chess[i][j]); 
            if(j==m){
                printf("\\n");
            }
        }
    }
}

void cover(int a,int b,int dr,int dl,int length){
	for(int i=1;i<=m;i++){ //输出结果,都从1号开始存放的 
        for(int j=1;j<=m;j++){
            printf("%4d",chess[i][j]); 
            if(j==m){
                printf("\\n");
            }
        }
    }
    printf("------------\\n");
    if(length==1){
        return;
    }
    t++;
    int L =t;
    int l=length/2;
    
    if(dr<a+l && dl<b+l){ //残缺在左上角 
        cover(a,b,dr,dl,l);
    }
    else{                 //残缺不在左上角，填充一个方格 
        chess[a+l-1][b+l-1]=L;
        cover(a,b,a+l-1,b+l-1,l);
    }
    
    if(dr>=a+l && dl<b+l){//残缺在左下角 
        cover(a+l,b,dr,dl,l);
    }
    else{                  //残缺不在左下角，填充一个方格 
        chess[a+l][b+l-1]=L;
        cover(a+l,b,a+l,b+l-1,l);
    }
    
    if(dr<a+l && dl>=b+l){//残缺在右上角
        cover(a,b+l,dr,dl,l);
    }
    else{                //残缺不在右上角，填充一个方格 
        chess[a+l-1][b+l]=L;
        cover(a,b+l,a+l-1,b+l,l);
    }
    
    if(dr>=a+l && dl>=b+l){//残缺在右下角
        cover(a+l,b+l,dr,dl,l);
    }
    else{                  //残缺不在右下角，填充一个方格 
        chess[a+l][b+l]=L;
        cover(a+l,b+l,a+l,b+l,l);
    }
}

下面的版本二是写给我自己看的，和上面的原理一模一样

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
为了方便逻辑判断，棋盘的行和列都从1开始
不需要将原始的残缺块位置设为全局变量，因为后来的填充都要看作残差块 
*/
int board[65][65];  //int型全局变量默认为0 
int N; //棋盘的边长
int cnt=0;  //记录该摆放第几块骨牌了
 
void cover(int dr, int dl, int a, int b, int length){ 
	//每一次递归都需要知道五个参数：残缺的行，残缺的列，子棋盘左上角的行，左上角的列，子棋盘边长
	int l=length/2; 
	cnt++;
	int L=cnt;
	if(length==1){  //递归出口
		return; 
	}
	//如果残差块在左上角的子棋盘中
	if(dr<=a+l-1&&dl<=b+l-1){  
		cover(dr,dl,a,b,length/2);	
	}
	else{ //不在的话，把右下角格子的填充上 
		board[a+l-1][b+l-1]=L;
		cover(a+l-1,b+l-1,a,b,length/2);
	}
	
	//如果残差块在右上角的子棋盘中
	if(dr<=a+l-1&&dl>=b+l){  
		cover(dr,dl,a,b+l,length/2);	
	}
	else{ //不在的话，把左下角格子的填充上 
		board[a+l-1][b+l]=L;
		cover(a+l-1,b+l,a,b+l,length/2);
	}
	
	//如果残差块在左下角的子棋盘中
	if(dr>=a+l&&dl<=b+l-1){  
		cover(dr,dl,a+l,b,length/2);	
	}
	else{ //不在的话，把右上角格子的填充上 
		board[a+l][b+l-1]=L;
		cover(a+l,b+l-1,a+l,b,length/2);
	}
	
	//如果残差块在右下角的子棋盘中
	if(dr>=a+l&&dl>=b+l){  
		cover(dr,dl,a+l,b+l,length/2);	
	}
	else{ //不在的话，把左上角格子的填充上 
		board[a+l][b+l]=L;
		cover(a+l,b+l,a+l,b+l,length/2);
	}
	
} 
int main(){
	int dr; //残缺所在的行数
	int dl; //残缺所在的列数 
	printf("请输入棋盘大小（1~64之间的整数）：");
    scanf("%d",&N);
    printf("请输入残缺行号dr:");
    scanf("%d",&dr); 
    printf("请输入残缺列号dl:");
    scanf("%d",&dl);
	cover(dr,dl,1,1,N); 
	/*---打印输出-----*/
	for(int i=1;i<=N;i++){ //输出结果,都从1号开始存放的 
        for(int j=1;j<=N;j++){
            printf("%4d",board[i][j]); 
            if(j==N){
                printf("\\n");
            }
        }
    }
	return 0;
}

六、常见错误分析

在写版本二时，出现了各种错误。列举如下
（1）没有3个相同的序号连在一起

错误代码（局部）如下：

	int l=length/2; 
	cnt++;//!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
	if(length==1){  
		return; 
	}
	
	if(dr<=a+l-1&&dl<=b+l-1){  
		cover(dr,dl,a,b,length/2);	
	}
	else{
		board[a+l-1][b+l-1]=cnt;//!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
		cnt++;
		cover(a+l-1,b+l-1,a,b,length/2);
	}

原因在于，计数器cnt是全局变量，随着递归的深入，cnt的值不断加1，回溯时也没有减1，这就导致递归树上同一层次的结点的cnt不同。
解决方法是，在递归函数内新定义一个局部计数器L,用L去给每一个分支赋值。

	cnt++;
	int L=cnt; //!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
	if(length==1){  
		return; 
	}
	
	if(dr<=a+l-1&&dl<=b+l-1){  
		cover(dr,dl,a,b,length/2);	
	}
	else{  
		board[a+l-1][b+l-1]=L; //!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
		cover(a+l-1,b+l-1,a,b,length/2);
	}

（2）上面的问题解决了（存在3个相同的序号连在一起了），但序号不连续

这个错误很难发现！原因在于下面两行代码的顺序。

	cnt++;
	int L=cnt;
	if(length==1){  //递归出口
		return; 
	}

按照上面这样写，进入递归出口前会使得计数器加1，但是进入递归出口根本不需要加1，这也就使得序号出现间断。
解决方法很简单，就是把计数器加一的代码移到递归出口的下面

	if(length==1){  //递归出口
		return; 
	}
	cnt++;
	int L=cnt;