2021/5/24回文子串与中心扩展法动态规划法

Posted 2021-05-26 黑黑白白君

文章目录

• 回文子串
• • 【题目】
  • 【中心拓展法】
  • • 如何有序地枚举所有可能的回文中心？
    • • 复杂度分析
  • 【动态规划法】
  • • 1、确定dp数组以及下标的含义：
    • 2、确定递推公式：
    • 3、初始化时均为False。
    • 4、res统计个数。
    • 5、确认遍历顺序!:
    • 避坑之python初始化二维数组：

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回文子串

【题目】

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

• 具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
  
  

示例 1：

• 输入：“abc”
• 输出：3
• 解释：三个回文子串: “a”, “b”, “c”
  
  

示例 2：

• 输入：“aaa”
• 输出：6
• 解释：6个回文子串: “a”, “a”, “a”, “aa”, “aa”, “aaa”
  
  

提示：

• 输入的字符串长度不会超过 1000 。

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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

【中心拓展法】

计算有多少个回文子串的最朴素方法就是枚举出所有的回文子串，而枚举出所有的回文字串又有两种思路，分别是：

• 枚举出所有的子串，然后再判断这些子串是否是回文。时间复杂度是O(n^3)。
• 枚举每一个可能的回文中心，然后用两个指针分别向左右两边拓展，当两个指针指向的元素相同的时候就拓展，否则停止拓展。时间复杂度是O(n^2)。
• 所以选择第二种方法来枚举所有的回文子串。

如何有序地枚举所有可能的回文中心？

需要考虑回文长度是奇数和回文长度是偶数的两种情况：

• 如果回文长度是奇数，那么回文中心是一个字符。
• 如果回文长度是偶数，那么中心是两个字符。

借鉴该思想写出的代码：

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        s=list(s)
        n=len(s)
        i=0
        res=0
        while(i<n):
            j=i
            k=i
            while(k>=0 and j<n):
                if s[k]==s[j]:
                    res+=1
                    k-=1
                    j+=1
                else:
                    break
            j=i+1
            k=i
            while(k>=0 and j<n):
                if s[k]==s[j]:
                    res+=1
                    k-=1
                    j+=1
                else:
                    break
            i+=1
        return res
# 执行用时：100 ms, 在所有 Python3 提交中击败了96.27%的用户
# 内存消耗：15 MB, 在所有 Python3 提交中击败了55.83%的用户

也可以用一个循环搞定。

• 长度为 n 的字符串会生成 2n-1 组回文中心。
• 其中左中心为 i / 2，右中心为 i / 2+（i mod 2）。

所以只要从 0 到 2n - 2 遍历 i，就可以得到所有可能的回文中心，这样就把奇数长度和偶数长度两种情况统一起来。

借鉴该思路写出的代码：

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        s=list(s)
        n=len(s)
        i=0
        res=0
        while(i<2*n-1):
            j=i//2
            k=i//2+i%2
            while(j>=0 and k<n and s[k]==s[j]):
                res+=1
                j-=1
                k+=1
            i+=1
        return res
# 执行用时：132 ms, 在所有 Python3 提交中击败了78.89%的用户
# 内存消耗：14.9 MB, 在所有 Python3 提交中击败了74.30%的用户

• 复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n^2)。
  • 空间复杂度：O(1)。

【动态规划法】

1、确定dp数组以及下标的含义：

• dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是则dp[i][j]为true，否则为false。

2、确定递推公式：

• 如果s[i]!=s[j]，则dp[i][j]一定为False。
• 如果s[i]==s[j]：
  • 如果i==j，即单个字符，则为True。
  • 如果 i 与 j 相差等于1，即两个字符，则为True。
  • 如果 i 与 j 相差大于1，而dp[i+1][j-1]是，则dp[i][j]也是，否则为False。

3、初始化时均为False。

4、res统计个数。

5、确认遍历顺序!:

• 首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
  • dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角。所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

注意：因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

借鉴该思路写出的代码：

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        s=list(s)
        n=len(s)
        res=0
        dp=[[False]*n for i in range(n)]
        i=n-1
        while(i>=0):
            j=i
            while(j<n):
                if s[i]==s[j]:
                    if j-i<=1:
                        dp[i][j]=True
                        res+=1
                    elif dp[i+1][j-1]==True:
                        dp[i][j]=True
                        res+=1
                j+=1
            i-=1
        return res
# 执行用时：240 ms, 在所有 Python3 提交中击败了53.38%的用户
# 内存消耗：22.4 MB, 在所有 Python3 提交中击败了29.43%的用户

避坑之python初始化二维数组：

• 初始化一个二维数组时，如果以方式multi = [[0] * 5] * 3，其实是不对的。因为[0] * 5是一个一维数组的对象，* 3的话只是把对象的引用复制了3次，此时修改了multi[0][0]，却把multi[1][0]，multi[2][0]也修改了！！！
• 正确的方式应该是multilist = [[0] * 5 for row in range(3)]，或者multilist = [[0 for col in range(5)] for row in range(3)]。

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【部分内容参考自】

• 回文子串：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/hui-wen-zi-chuan-by-leetcode-solution/
• 「代码随想录」647. 回文子串:【动态规划】【中心扩展】详解！：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/647-hui-wen-zi-chuan-dong-tai-gui-hua-zh-6f7n/
• python中初始化二维数组：https://blog.csdn.net/justheretobe/article/details/7632487