最长回文子串(动规,中心扩散法,Manacher算法)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最长回文子串(动规,中心扩散法,Manacher算法)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目

leetcode:5.?Longest Palindromic Substring

解法

动态规划

时间复杂度\(O(n^2)\),空间复杂度\(O(n^2)\)
基本解法直接看代码

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n, true));
        int rx, ry;
        
        rx = ry = 0;
        for(int l = 1; l < n; l++){
            for(int i = 0; i < n - l; i++){
                int j = i + l;
                if(s[i] == s[j] && (j - i < 3 || dp[i+1][j-1])){
                    dp[i][j] = true;
                    if(j - i > ry - rx){
                        ry = j;
                        rx = i;
                    }
                } else {
                    dp[i][j] = false;
                }
            }
        }
        
        return s.substr(rx, ry - rx + 1);
    }
};

中心扩散法

时间复杂度\(O(n^2)\),空间复杂度\(O(1)\)
我们先假定以某点为中心向两端扩散,找到以该点为中心的最长回文子串

class Solution {
public:
    
    int rx, ry;
    void helper(string &s, int i, int offset){
        int left = i;
        int right = i + offset;
        while(left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right]){
            left--;
            right++;
        }
        
        if(right - 1 - (left + 1) > ry - rx){
            ry = right - 1;
            rx = left + 1;
        } 
    }
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
    
        rx = ry = 0;
       
        for(int i = 0; i < n; i++){
            helper(s, i, 0);
            helper(s, i, 1);
        }
        
        return s.substr(rx, ry - rx + 1);
    }
};

Manacher算法

Manacher算法俗称“马拉车算法”,时间复杂度\(O(n)\),空间复杂度\(O(n)\)
因为回文字符串都有奇数长度的串和偶数长度的串,为了更好处理这两种情况,可以在字符串中插入一特殊字符‘#‘,使得新字符串长度全变为奇数长度,如"aa"变为"#a#a#",可以再字符串首部加入另一特殊字符‘$‘和尾部的‘@‘,这样就不用特殊处理越界问题(统一边界处理)
以"122112321"为例经过上一步变成"@#1#2#2#1#1#2#3#2#1#"
Manacher算法使用一个辅助数组r[i]表示以t[i]为中心的最长回文子串的最右字符到t[i]的长度,如以t[i]为中心的最长回文子串为t[low, high],则r[i] = high - i + 1, t[low, high] = 2 * r[i]-1, len数组有一个性质,就是r[i]-1为该回文子串在原串中的长度,证明很简单t[lowl, high]一定是以"#"开头和结尾的,这样插入的"#"是原来串中字符的两倍还多一个,这样原串中最长回文串的长度就为r[i]-1,这样问题就转为求最长的r[i]

计算len数组

算法主要利用了已有的回文子串的特点,减少了查找时间,从左往右计算len[i],同时保存一个之前计算最长回文子串的右端点的最大值R及对应的中心位置c,

  • i < R, 则先找i关于c对称点j=2*c-i,则至少r[i] \(\geq\) min(R - i + 1, p[j]), 超出部分再手工匹配
  • i >= R, 则不能利用以后的知识做任何假设,只能假定其至少为1,再手工匹配
class Solution {
public:
  
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
        if(n == 0) return "";
        string ns;
        ns.push_back('$');
        for(int i = 0; i < n; i++){
            ns.push_back('#');
            ns.push_back(s[i]);
        }
        ns.push_back('#');
        ns.push_back('@');
        n = ns.size();
        vector<int> r(n);
        int c, R, C, MAX;
        R = -1;
        MAX = 0;
        C = 0;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            r[i] = i < R ? min(r[2 * c - i], R - i + 1) : 1;
            while(ns[i + r[i]] == ns[i - r[i]]) r[i]++;
            r[i]--;
            if(i + r[i] > R){
                R = i + r[i];
                c = i;
            }
            if(r[i] > MAX){
                MAX = r[i];
                C = i;
            }
           
        }
        
        return s.substr((C-MAX)/2, r[C]);
    }
};
时间复杂度分析

参考

以上是关于最长回文子串(动规,中心扩散法,Manacher算法)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

返回最长回文子串的长度中心扩散法

最大回文子串匹配:暴力算法中心拓展法动态规划manacher算法

最长回文子串(M)

数据结构与算法 -- 中心扩散法

Leetcode最长回文子串

manacher算法处理最长的回文子串