一维随机变量及分布

Posted 2022-12-04 会思考的浣熊

第二章 一维随机变量及分布

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一、随机变量、分布函数及性质

1. 随机变量
2. 分布函数
3. 分布函数的性质

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二、离散型随机变量及分布

1. 离散型随机变量的定义

若随机变量 $X$ 的可能取值为有限个或可列个，称 $X$ 为离散型随机变量。

2. 离散型随机变量的分布率

称

$$P\\X = x_i\\ = p_i(i = 1, 2, \\cdots)$$
或

$X$	$x_1$	$x_2$	$\\cdots$	$x_n$	$\\cdots$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\\cdots$	$p_n$	$\\cdots$

为离散型随机变量 $X$ 的分布律。

3. 离散型随机变量的分布函数

$$F(x) = P\\ X \\leqslant x \\ = \\sum_X_i \\leqslant x p_i$$

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三、连续型随机变量及分布

1. 连续型随机变量的定义

设 $X$ 为随机变量，若 $X$ 的分布函数 $F(x) = \\int_-\\infty^x f(x)dx$（其中$f(x)$ 为非负可积函数），称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为连续型随机变量的密度函数。

2. 密度函数与分布函数的性质

1. $f(x) \\geqslant 0$；
2. $\\int_-\\infty^+\\infty f(x)dx = 1$；
3. $F(x)$ 为连续型随机变量的密度函数；

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四、常见一维随机变量及分布

（一）离散型

1. 二项分布$X \\sim B(n, p)$
   

   $$P\\X = k\\ = C_n^p p^k (1 - p)^n - k, k = 0, 1, \\cdots, n$$

2. Poisson 分布$X \\sim Poisson(k)$
   

   $$P\\X = k\\ = \\frac\\lambda^kk! e^-\\lambda$$

3. 几何分布$X \\sim G(x)$
   

   $$P\\X = k\\ = (1 - p)^k-1 p, k = 1, 2, \\cdots$$

4. 超几何分布 $X \\sim H(N, M, n)$
   

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