SS-CA-APPLE：如何应用留数定理求定积分？
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了SS-CA-APPLE：如何应用留数定理求定积分？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
§01 数学原理
利用留数定理可以简化某些初等函数定积分计算。这需要解决以下两个问题：
1. 需要把被积函数 与每个解析函数关联起来；
2. 需要把积分转换成沿闭曲线的积分；
1.1 关于正弦复合函数积分
对于形如 ∫ 0 2 π R ( cos θ , sin θ ) d θ \\int_0^2\\pi R\\left( \\cos \\theta ,\\sin \\theta \\right)d\\theta ∫02πR(cosθ,sinθ)dθ 的积分，其中 R ( cos θ , sin θ ) R\\left( \\cos \\theta ,\\sin \\theta \\right) R(cosθ,sinθ) 为 cos θ , sin θ \\cos \\theta ,\\sin \\theta cosθ,sinθ 的有理函数。
令 z = e i θ z = e^i\\theta z=eiθ ，那么 d z = i e i θ d θ dz = ie^i\\theta d\\theta dz=ieiθdθ ， sin θ = 1 2 i ( e i θ − e − i θ ) = z 2 − 1 2 i z \\sin \\theta = 1 \\over 2i\\left( e^i\\theta - e^ - i\\theta \\right) = z^2 - 1 \\over 2iz sinθ=2i1(eiθ−e−iθ)=2izz2−1 cos θ = 1 2 ( e i θ + e − i θ ) = z 2 + 1 2 z \\cos \\theta = 1 \\over 2\\left( e^i\\theta + e^ - i\\theta \\right) = z^2 + 1 \\over 2z cosθ=21(eiθ+e−iθ)=2zz2+1
从而，原来积分化简为 ∮ ∣ z ∣ = 1 R [ z 2 + 1 2 z , z 2 − 1 2 i z ] d z i z = ∮ ∣ z ∣ = 1 f ( z ) d z \\oint_\\left| z \\right| = 1 R\\left[ z^2 + 1 \\over 2z,z^2 - 1 \\over 2iz \\right]dz \\over iz = \\oint_\\left| z \\right| = 1 f\\left( z \\right)dz ∮∣z∣=1R[2zz2+1,2izz2−1]izdz=∮∣z∣=1f(z)dz 其中 f ( z ) f\\left( z \\right) f(z) 为 z z z 的有理函数，在单位圆周上 ∣ z ∣ = 1 \\left| z \\right| = 1 ∣z∣=1 分母不为0，所以满足留数定理。根据留数定理可以获得积分值 2 π i ∑ k = 1 n R e s [ f ( z ) , z k ] 2\\pi i\\sum\\limits_k = 1^n \\mathop\\rm Re\\nolimits s\\left[ f\\left( z \\right),z_k \\right] 2πik=1∑nRes[f(z),zk]
1.2 有理分式积分
对于形如 ∫ − ∞ + ∞ R ( x ) d x \\int_ - \\infty ^ + \\infty R\\left( x \\right)dx ∫−∞+∞R(x)dx 积分，其中 R ( x ) R\\left( x \\right) R(x) 是 x x x 的有理分式，而且分母次数比分子次数高二次，并且 R ( x ) R\\left( x \\right) R(x) 在实轴上没有孤立奇点，积分是存在的。
设 R ( z ) = z n + a 1 z n − 1 + ⋯ + a 0 z m + b 1 z m − 1 + ⋯ + b 0 , m − n ≥ 2 R\\left( z \\right) = z^n + a_1 z^n - 1 + \\cdots + a_0 \\over z^m + b_1 z^m - 1 + \\cdots + b_0 ,\\,\\,m - n \\ge 2 R(z)=以上是关于SS-CA-APPLE：如何应用留数定理求定积分？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章