数字信号处理离散时间系统因果性 ( 因果性概念 | 充要条件及证明 )

Posted 2022-03-01 韩曙亮

文章目录

• 一、离散时间系统因果性
• 二、充要条件证明
• • 1、充分性证明
  • 2、必要性证明

一、离散时间系统因果性

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① 离散时间系统因果性 :

" 离散时间系统 " $n$ 时刻 的 " 输出 " ,

只取决于 $n$ 时刻 及 $n$ 时刻 之前 的 " 输入序列 " ,

与 $n$ 时刻之后 的 " 输入序列 " 无关 ;

离散时间系统 的 " 输出结果 " 与 " 未来输入 " 无关 ;

" ② 离散时间系统因果性 " 的 充分必要条件是 :

$$h(n)=0n<0$$

模拟系统的 " 单位冲激响应 " , 必须 从 $0$ 时刻开始才有值 , 是 " 单边序列 " 类型中的 " 右边序列 " , $0$ 时刻的值 也就是 起点不能为 $0$ ;

二、充要条件证明

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1、充分性证明

如果 $h(n)=0n<0$ 成立 , 则 离散时间系统 具有 " 因果性 " ;

线性时不变 LTI 系统 , 有

$$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)$$

$h(n)=0n<0$ 成立的话 , 在 $n<0$ 时 , $h(n)=0$ ;

如果在 $m>n$ 时 , $n-m<0$ , $h(n-m)=0$ ,

$y(n)$ 只与 $m\le n$ 时有关 , 只有在该情况 ( $m\le n$ ) 下 , $h(n-m)\ne 0$ , $y(n)$ 才有实际意义 ;

$y(n)$ 的计算公式为 :

$$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{n}x(m)h(n-m)$$

2、必要性证明

如果 离散时间系统 具有 " 因果性 " , 则在 $n<0$ 时 有 $h(n)=0$ ;

使用反证法证明 , 首先 假设 当 $n<0$ 时 , $h(n)\ne 0$ ;

当 $m>n$ 时 , $h(n-m)\ne 0$ ,

$$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{n}x(m)h(n-m)+\sum _{m=n+1}^{\infty }x(m)h(n-m)$$

上面式子中的 ${\sum }_{m=n+1}^{\infty }x(m)h(n-m)$ 项不为 $0$ ,

该 LTI 系统的 输出 $y(n)$ 与 $m>n$ 时的 $x(m)$ 相关 ,

因此系统是 " 非因果的 " , 假设不成立 ;

结论 : 如果 离散时间系统 具有 " 因果性 " , 在 $n<0$ 时 一定有 $h(n)=0$ ;