信号与系统：因果与非因果系统的理解

Posted 2023-02-06 四臂西瓜

信号与系统：因果与非因果的理解

举个通俗的例子，来辅助大家理解《信号与系统》中，因果与非因果的区别。

通俗例子

例子1：超能力收麦子

假象你是一个农民，在田地里晒麦子，为了尽可能的多晒，你需要在阴雨天到来前一天，把麦子收好，不然麦子就坏了。

因果系统：

天气预报，根据目前和前几天专业的气象信息，推断出了明天下雨。于是你把麦子收好了。

输出（是否收麦子的决定）只取决于现在的输入（当前的气象信息）和过去的输入（前几天的气象信息）。

非因果系统：

你有预知未来的超能力，预知到明天会下雨，于是把麦子收好了。

输出（是否收麦子的决定）还和未来的输入有关（预知到明天会下雨）

例子2：为恐怖片做镜头预警

相信大家一定都看过恐怖片解说，有的解说会为观众在每个恐怖镜头出现前，放倒计时。现在，你将担任解说员在两种情况下，为视频的恐怖镜头做好预警。

因果系统：

你正在进行一场恐怖片的实时直播，当视频镜头突然变得安静，或者恐怖的氛围音乐逐渐响起，这些信息无不宣告着恐怖镜头的到来，于是呢你做出预警。

输出（是否做出预警）只取决于现在的输入和过去的输入（突然的安静、正在播放的恐怖的氛围音乐）

非因果系统：

你事先看过了这个电影，知道在50：30的时候会出现恐怖镜头，于是呢，在50：47分的时候做出了预警。

输出（是否做出预警）取决于未来的输入（50：30分的时候出现恐怖画面）

专业例子

当我们引入数学， 通俗的例子从“形象”转变为“抽象”，开始变得专业。同时因为这个数学具有一个实际的含义，比起教科书上的数学，更像是比较“形象”的抽象，方便理解。

以通俗的例子2：为恐怖片做镜头预警。为例，我们展开讨论。

非因果系统

我们在观看一个恐怖片片段，它的时长有60秒，在50秒的时候有一个恐怖镜头。那么我们用n来表示时间，单位为秒，用x(t)是否为1表示当前时间是否有恐怖镜头。x(t)为1时，表示有，为0表示没有。于是我们得到了下面这张图。

在X(50)处，值为1，表示第50s有恐怖镜头。其余为0，没有恐怖镜头。

预警需要设置在恐怖镜头出现的5s前，给观众足够的时间做心理准备。如果我们用y(t)来表示是否预警，y(t)为1表示预警，为0则不做预警。

根据y(t)的定义，可以得出它的数学表达式：
$$y(t)=x(t+5)\text{\hspace{1em}(公式1)}$$

$(公式1)$ 便是典型的非因果系统。它与未来的输入有关。在公式上常常表现为，t+x。

因果系统

依然是为恐怖片做预警，现在根据恐怖氛围音乐（后面简称音乐），用x(t)为1表示出现音乐。假设音乐出现在40s。如图：

用y(t)为1表示预警，当音乐出现后5s，我们做出预警。于是得到y(t)的表达式和图像。
$$y(t)=x(t-5)\text{\hspace{1em}(公式2)}$$

$(公式2)$ 便是典型的因果系统。它与当前或者之前的输入有关，此处为与之前的输入有关。在公式上常常表现为，t-x。

总结

1. $(公式1)$是典型的非因果系统。它与未来的输入有关。在公式上常常表现为，t+x。
2. $(公式2)$是典型的因果系统。它与当前或者之前的输入有关，此处为与之前的输入有关。在公式上常常表现为，t-x。
3. 在做题时，可以依据t的形式进行判断是否为因果系统。

教课书上有不少例子，我觉得其中最容易理解和操作的非因果系统，是滑动滤波。