信号与系统02 系统知识点

Posted 2021-09-11 Wreng

系统知识点

1. 系统知识点

• 1. 系统知识点
  • 1.1. 系统的表示
  • 1.2. 系统的分类
    • 1.2.1. 连续/离散时间系统
    • 1.2.2. 线性/非线性系统
    • 1.2.3. 时变/时不变系统
    • 1.2.4. 因果/非因果系统
    • 1.2.5. 稳定/非稳定系统
    • 1.2.6. 记忆/无记忆系统
  • 1.3. 系统的互联

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1.1. 系统的表示

• 箭头/方框表示 \\(f(t)\\to y(t)\\)，\\(f(t)\\to \\boxed{H} \\to y(t)\\)
• 算子表示 \\(y(t)=H[f(t)]\\)
• 数学模型表示（差分方程或微分方程）

1.2. 系统的分类

1.2.1. 连续/离散时间系统

将连续时间输入信号变换为连续时间的输出信号的系统，称为连续时间系统；

将离散时间输入信号变换为离散时间的输出信号的系统，称为离散时间系统。

1.2.2. 线性/非线性系统

线性系统满足3个条件：

• 系统具有分解性

  系统的全响应可以分解为只由初始状态引起的零输入响应\\(y_{_x}(t)/y_{_0}[n]\\)和只由输入引起的零状态响应\\(y_{_f}(t)/y_{_x}[n]\\)之和，记为：

  \\[\\begin{aligned} y(t) &= y_{_x}(t) + y_{_f}(t)\\\\ y[n] &= y_{_0}[n] + y_{_x}[n] \\end{aligned} \\]

• 系统具有零输入线性

  \\[\\begin{aligned} ay_1(0) + by_2(0) &\\to ay_{x_1}(0) + by_{x_2}(0) \\\\ ay_1[0] + by_2[0] &\\to ay_{_{0_1}}[0] + by_{_{0_2}}[0] \\\\ \\end{aligned} \\]

• 系统具有零状态线性

  \\[\\begin{aligned} ax_1(t) + bx_2(t) &\\to ay_{_{f_1}}(t) + by_{_{f_2}}(t) \\\\ ax_1[n] + bx_2[n] &\\to ay_{_{x_1}}[n] + by_{_{x_2}}[n] \\\\ \\end{aligned} \\]

【例】

1. 典型的不满足可分解性的例子就有：\\(y(t) = y(0)x(t)\\)
   一般的时候会遇到零输入响应为0的情况，此时只需判断的零状态响应线性即可（如 \\(y(t)=tf(t)\\) ）。
   但是如果零输入响应为一个非零的常数（此时不满足线性），则此系统为增量线性系统（假设满足零状态响应线性），仍属于非线性系统。
2. 根据定义很容易判断零输入/零状态是否线性，比如常见的 \\(y(t)=f^2(t)\\) 就是典型的非线性，另外像微分算子 \\(y(t)=\\frac{df(t)}{dx}\\)，积分算子 \\(y(t)=\\int_{-\\infty}^{t} f(\\tau) d\\tau\\) 都是的线性算子。

1.2.3. 时变/时不变系统

系统的时不变性指的是：输入信号在时间上有一个平移，系统的零状态响应也会产生一个同样的时间上的平移，即：

如果 \\(f(t)\\to y_{_f}(t)\\)，则 \\(f(t-t_0) \\to y_{_f}(t-t_0)\\)或
如果 \\(x[n]\\to y_{_x}[n]\\)，则 \\(x[n-n_0]\\to y_{_x}[n-n_0]\\)；

【注意】 特别小心这种“时间反转、扩展压缩”的信号，如：

\\[\\begin{aligned} & y(t) = x(at)，如 \\begin{cases} y(t) = x(2t)\\\\ y(t) = x(-t) \\end{cases} 均为时移系统,\\\\ & \\begin{cases} y(t) = \\int_{-\\infty}^{2t} x(\\tau) d\\tau 为时移系统\\\\ y(t) = \\int_{-\\infty}^{t} x(\\tau) d\\tau 为时不变系统\\\\ \\end{cases}； \\end{aligned} \\]

还有一种就是“输入信号与时间函数”的乘积，如 \\(y(t)=tf(t), y(t)=\\sin(t)f(t)\\) 等均是时移系统。

1.2.4. 因果/非因果系统

因果系统的当前输出只与当前时刻或当前时刻之前的输入有关，而与未来的输入无关，又称为“物理可实现系统”。

非因果系统的输出与未来的时刻的输入有关。

【注意】 从定义上很容易判断出，注意几个特殊的：

1. “时间反转、扩展压缩”的信号

   \\[y(t)=f(at) \\begin{Bmatrix} y(t) = f(2t),& y(1) = f(2)\\\\ y(t) = f(\\frac{1}{2}t),& y(-1) = f(-\\frac{1}{2})\\\\ y(t) = f(-t),& y(-1) = f(1)\\\\ y(t) = f(-\\frac{1}{2}t),& y(-1)=f(\\frac{1}{2})\\\\ y(t) = f(-2t),& y(-1)=f(2)\\\\ \\end{Bmatrix} 非因果 \\]

2. 微分、差分等运算

   \\[\\begin{aligned} y(t) &= \\frac{df(t)}{dt} = \\lim_{\\Delta t \\to 0} \\frac{f(t + \\Delta t) - f(t)}{\\Delta t}, \\Delta t 可正可负，故为非因果系统；\\\\ y[n] &= \\Delta x[n] = x[n+1] - x[n]，前向差分为非因果系统；\\\\ y[n] &= \\triangledown x[n] = x[n] - x[n-1]，后向差分为因果系统；\\\\ y(t) &= \\int_{-\\infty}^{2t} f(\\tau) d\\tau ，时间压缩了，也是非因果系统。 \\end{aligned} \\]

1.2.5. 稳定/非稳定系统

对于任意一个有界输入，输出也有界的系统为稳定系统。

1.2.6. 记忆/无记忆系统

• 无记忆系统

  系统的输出信号只取决于当前时刻的激励信号，而与过去的工作状态无关（如纯电阻电路）

• 有记忆系统

  系统的输出信号不仅取决于当前时刻的激励信号，而与过去的输入有关（如含有电感，电容的电路）

1.3. 系统的互联

• 串联

• 并联

• 反馈