从零开始的算法学习生活——①高精度运算
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了从零开始的算法学习生活——①高精度运算相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
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前言
上一篇文章简单提及了高精度加法运算,那么这次让我们看看高精度乘法与高精度模板相应的实现吧!
一、高精度乘法
1.分析
回想一下A+B高精的实现,我们从竖式加法中得到启发,发现了数组实现大数加法的本质,那么这里我们不妨从竖式乘法的角度分析,通过下表来观察其实质。
举个例子,342*456=155,952,下表是每一位的运算过程。
数 | 第5位 | 第4位 | 第3位 | 第2位 | 第1位 | 第0位 |
---|---|---|---|---|---|---|
a | 3 | 4 | 2 | |||
b | 4 | 5 | 6 | |||
a*b[0] | 18 | 24 | 12 | |||
a*b[1] | 15 | 20 | 10 | |||
a*b[2] | 12 | 16 | 8 | |||
加和 | 12 | 31 | 46 | 34 | 12 | |
处理进位 | 1 | 5 | 5 | 9 | 5 | 2 |
结果 | 1 | 5 | 5 | 9 | 5 | 2 |
仔细观察可以发现,对于某两位之间的乘法运算结果a[i]*b[j],其对于最终结果的贡献都在第i+j位上。利用这一条性质,我们可以先将所有的贡献计算出来,最后进行进位处理,提升了运算效率。
2.例题
1.题面
传送门: 洛谷P1303(A*B Problem)
2.AC代码
附上AC代码
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int max_n = 2002;//最大位数
int a[max_n],b[max_n],c[max_n];
int main()
string A,B;
cin>>A>>B;
int lenA = A.length(),lenB = B.length();
for (int i = 0,j = lenA-1; j>=0; i++,j--)
a[i] = A[j] - '0';
for (int i = 0,j = lenB-1; j>=0; i++,j--)
b[i] = B[j] - '0';
for (int i = 0; i < lenA; i++)//计算每一位的贡献
for (int j = 0; j < lenB; j++)
c[i+j] += a[i] * b[j];
int len = lenA + lenB;//两数乘积的最大位数不超过两数位数之和
for(int i = 0;i < len;i++)//从低位至高位依次处理进位
c[i + 1] += c[i] / 10;
c[i] %= 10;
while (!c[len-1])
len--;//去除多余0位
for (int i = max(0,len-1);i >=0;i--)//这里使用max函数是为了处理乘数为0的情况
cout<<c[i];
//输出
return 0;
PS:此代码的时间复杂度为O(n²),n为数的位数。若要进行优化,则可以通过快速傅里叶变换来加速高精度乘法,将其优化为O(nlogn),由于比较复杂,在此不作深入说明。
二、高精度模板
1.分析
到此,我们已经了解了用数组模拟大数并进行加法与乘法的本质与方法,那么有一个很自然的问题,能不能使用一个模板,使得每次需要使用高精度运算时,或者同时需要使用加法与乘法运算时,能够使用同一个模板进行运算呢?
根据C++的特性,我们可以通过封装结构体,并重载运算符的方式来实现一个高精度模板。
2.实现
#define MAX_N 200
//封装结构体
struct BigNum
int len;//数的位数
int a[MAX_N];//各数位数组
BigNum(int x = 0)//通过初始化使其默认表示整形x = 0
memset(a,0,sizeof(a));//初始化
for (len = 0; x ;len++)
a[len] = x % 10;
x /= 10;
int &operator [](int i)
return a[i];
void flatten(int L)//从第0位到第L-1位进行进位处理,L不小于有效长度
len = L;
for(int i = 0;i < len;i++)//从低位至高位依次处理进位
a[i + 1] += a[i] / 10;
a[i] %= 10;
while (!a[len-1])
len--;//去除多余0位,使其重置为有效长度
void print()//输出
for (int i = max(0,len-1);i>=0;i--)
printf("%d",a[i]);
;
//重置+(两个大数相加)
BigNum operator+(BigNum a,BigNum b)
BigNum c;
int len = max(a.len,b.len);
for (int i = 0; i<len ; i++ ) //从低位至高位依次作加法运算
c[i]+= a[i]+b[i];
c.flatten(len+1);
return c;
//重置*(两个大数相乘)
BigNum operator*(BigNum a,BigNum b)
BigNum c;
int lenA = a.len,lenB = b.len;
for (int i = 0; i < lenA; i++)//计算每一位的贡献
for (int j = 0; j < lenB; j++)
c[i+j] += a[i] * b[j];
int max_len = lenA + lenB;
c.flatten(max_len);
return c;
//重置*(大数与int型相乘)
BigNum operator*(BigNum a,int b)
BigNum c;
int len = a.len;
for (int i = 0; i < len; i++)//计算每一位的贡献
c[i] = a[i] * b;
c.flatten(len+11);//int型的最大长度为10位
return c;
3.例题
例题传送门:洛谷P1009(阶乘之和)
1.题面
题目描述
用高精度计算出
S
=
1
!
+
2
!
+
3
!
+
⋯
+
n
!
(
n
≤
50
)
S = 1! + 2! + 3! + \\cdots + n!(n \\le 50)
S=1!+2!+3!+⋯+n!(n≤50)
输入格式
一个正整数
n
n
n。
输出格式
一个正整数
S
S
S,表示计算结果。
输入输出样例
输入 #
1
1
1
3
3
3
输出 #
1
1
1
9
9
9
说明/提示
【数据范围】
对于
100
%
100 \\%
100% 的数据,
1
≤
n
≤
50
。
1 \\le n \\le 50。
1≤n≤50。
2.分析
阶乘达到22的时候,已经超出了long long的储存范围,这里利用前面写封装好的高精模板,就能轻松的解决此题。
3.AC代码
添加上相应的头文件后,就能正常运行啦!(这里只贴出main函数模拟题意代码)
int main()
BigNum ans(0),fac(1);
int n;
cin>>n;
for (int i = 1;i <= n;i++)
fac = fac * i;
ans = ans + fac;
ans.print();
return 0;
总结
到此为止,高精度运算就暂时告一段落了,高精度运算的主要实质为数组模拟大数进行逐位运算,理解起来不算非常复杂,而通过进一步封装,得到的高精度模板能够方便简洁地实现相应的大数运算。
以上是关于从零开始的算法学习生活——①高精度运算的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章