iOS世界里的贝塞尔曲线(一)：贝塞尔曲线基础

Posted 2023-05-02

参考技术A

本系列文章通过介绍 贝塞尔曲线 的基础知识，贝塞尔曲线在ios中的应用以及一些高级技巧，循序渐进，试图让读者对iOS的中贝塞尔曲线知识有一个较系统的认识。

你可能在很多地方听说过 贝塞尔曲线 ，但是贝塞尔曲线到底是什么，它有什么特性能让它有这么高的知名度，它到底有什么用呢？

听不懂，没关系，继续往下看。

虽然在1912年就已经被发现，但是其对图形的适用性在半个世纪内者也没有被实现，直到1959年在雪铁龙汽车就职的数学家 Paul de Casteljau ，开始对伯恩斯坦多项式进行图形化的尝试，并推出一种新的数值稳定(即在求伯恩斯坦多项式的时候不会引入数值误差)递归算法 de Casteljau 算法 用来伯恩斯坦多项式。根据这个算法，就可以只通过很少的控制点，去生成复杂的平滑曲线，也就是贝塞尔曲线。

而贝塞尔曲线的成名，得益于法国工程师 Pierre Bézier ，他将这种算法用来辅助雷诺汽车的车体工业设计，并且得到广泛宣传。

正是因为其绘制简便却具有极强的描述能力，贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的推广和应用。随后随着计算机技术的发展，在计算机图形学领域，尤其是矢量图形学，贝塞尔曲线也占有了重要的地位。

今天我们使用的绘图软件，Illustrator、CorelDraw 等，无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具（钢笔工具）包含其中。

这里的一个网站可以在线模拟钢笔工具的使用： http://bezier.method.ac/

推广到三维空间的 贝塞尔曲面 ，以及更进一步的 非均匀有理 B 样条（NURBS） ，早已成为当今计算机辅助设计（CAD）的行业标准，不论是我们平常用到的各种产品，还是在电影院看到的精彩大片，都少不了它们的功劳。

下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法 绘制一条贝塞尔曲线。

3.连接点D、E
4.在线段DE上取点F，使 AD:DC = CE:EB = DF:FE 。 如下图：

那么我们就找到了贝塞尔曲线上的点F，这时让选取的点 D 在线段AB上从起点 A 移动到终点 B，找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后，我们也得到了这条贝塞尔曲线。如下图：

如果你实在想象不出这个过程，没关系，看动画！

这样就画出了一条贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线的一个比较好的动态演示网站： http://myst729.github.io/bezier-curve

回过头来看这条贝塞尔曲线，

根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一次贝塞尔曲线，二次贝塞尔曲线（3个控制点）、三次贝塞尔曲线（4个控制点）等等，以此类推。

还有只有两个控制点的一次贝塞尔曲线，没错是一条线段，它是贝塞尔曲线的特殊情况：

综上可以看出使用贝塞尔曲线可以画出各式各样的圆形，也可以画出一条直线段。另外，贝塞尔曲线有以下两个重要的特性：

至此我们了解了贝塞尔曲线的基本知识。

使用贝塞尔曲线插值方法对绘图进行圆滑处理

参考技术A 在iOS中实现绘图的技术的话，比较通用的做法是，在onTouch事件中收集到轨迹坐标点数据，然后在UIView中的 drawInRect 方法里面绘制每一帧画面。在 drawInRect 方法使用CGContextRef的方法如CGContextAddLineToPoint等来实现。一般来说，可以每两个点连成一条直线，然后把轨迹绘制出来。
但是这样的话，如果一定时间内，绘画的速度比较快，屏幕产生的点的距离就变得比较远，这样两个点之间产生的直线连接起来看起来就比较有轮廓感。

如下图所示：

首先要知道贝塞尔曲线的定义，以下是二阶贝塞尔曲线公式。

二阶贝塞尔曲线的意思是，只有一个控制点P1，起点和终点分别是P0和P3。（三阶贝塞尔曲线有两个控制点）当t=0的时候，B(t)的值等于P0，当t=1的时候，B(t)的值等于P2。P1是控制点，用来控制起点P0和终点P2之间的弯曲程度。

所以，可以使用每三个点来组成一段二阶贝塞尔曲线，然后使用二阶贝塞尔曲线方程进行中间插值。这样起点P0和新产生的插值点就形成了新的轨迹。Pn为复合二阶贝塞尔曲线的插值坐标点，由贝塞尔曲线的t从[0,1]变化来产生。

经过第一步优化，效果好了不少，圆滑效果也出来了，但是可以进一步优化，可以计算P0与P1之间的中点Pm0，P1与P2之间的中点Pm1，还是以P1为控制点，这样【Pm0，P1,Pm2】作为二阶贝塞尔曲线的新的起点、控制点、终点。
这样的话，轨迹的第一个点和最后一个点就孤立出来了，可以直接把第一个点和第一个中点用直线连接便可。

上述优化是强制每3个坐标点都做插值优化，这样产生的插值点就会非常多，因为绘制的 速度 是可以通过固定时间内产生的坐标点来判断的，所以可以通过速度来控制是否要进行插值，如果速度非常慢，达不到插值的阈值，可以直接用直线连接。

如果速度非常快，需要插值，这时候，插值点的多少还是要经过二阶贝塞尔曲线方程t来判断，速度越快，t从[0,1]的变换越慢，这样产生的插值点才会越多。

https://blog.csdn.net/trent1985/article/details/51396665