漫步凸分析四——凸函数

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了漫步凸分析四——凸函数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

令函数 f 的值域是实数或±∞，定义域是 Rn 的一个子集，集合

(x,μ)|x∈S,μ∈R,μ≥f(x)

叫做 f 的上境图(epigraph)，用epif表示，如果epi f 是Rn+1的凸子集，那么我们将 f 定义为凸函数。对于S 上的函数，如果其负为凸，那么该函数为凹。 S 上的仿射函数是有限的，凸且凹的。

凸函数f在 S 上的有效定义域(用domf表示)就是 f 的上境图在Rn 上的投影：

domf=x|∃μ,(x,μ)∈epif=x|f(x)<+∞

这是 Rn 中的一个凸集，因为它是凸集epi f 在线性变换下的像(定理3.4)。它的维数就是f的维数，一般地， f 为凸等价于domf为凸，所有的讨论实际上集中在有效定义域上， S 本身没什么太大作用。

我们不想只考虑有效定义域为某个确定值C的一类凸函数，稍后会看到这么做的原因。但是有两个方法依然保留着，我们考虑不取 +∞ 的函数，这样的话 S 总是和domf 是一致的(但是将和 f 一起变化)，或者考虑定义域在整个Rn 上的函数，这样的话对于 x∉S ，通过设置 f(x)=+∞ 就能将 S 上的凸函数f扩展为整个 Rn 上的凸函数。

本文选择第二种方法，因此当提到凸函数时，除非特别说明，否则这就意味着这个凸函数是定义在整个 Rn 空间上的，并且可能取无穷大。这个方法有个好处，那就是可以压制有效定义域带来的麻烦，例如当凸函数 f 已经通过某种形式构造出来后，同样的形式可以用于有效定义域上，因为他们指定了f(x)为 +∞ 的地方。而对于另一种方法，在定义域内 f 的值给定以前，必须先显示地给出有效定义域。

然而，这里采用的方法会产生涉及+∞,−∞的算术计算，我们采纳的法则如下：

α+∞=∞+α=∞for−∞<α≤∞α−∞=−∞+α=−∞for−∞≤α<∞α∞=∞α=∞,α(−∞)=(−∞)α=−∞for0<α≤∞α∞=∞α=−∞,α(−∞)=(−∞)α=∞f以上是关于漫步凸分析四——凸函数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

最优化之凸集凸函数上确界Jensen不等式共轭函数Fenchel不等式拉格朗日乘子法KKT条件

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