Codeforces Round #632 (Div. 2) Ｄ. Dreamoon Likes Sequences （思维 + 乘法原理）

Posted 2022-12-07 lasomisolaso~

思维+乘法原理

题意：

给出一个上限$d$,和一个模数$m$，计算符合下列条件的数列$a$的个数:

1. 数列$a$的长度大于等于$1$。
2. 数列$a$的最小值大于等于$1$，最大值小于等于$d$，且是严格单调递增的。
3. 对于$a$用如下方式构造一个数列$b$， 要求构造的数列$b$是严格单调递增的。
   $b_1=a_1$
   $b_i=b_{i-1}⨁a_i(i\ge 1)$

题解：

参考官方题解：
首先定义一个函数$h(a_i)$，表示$a_i$的二进制表示中数位为1的最高位是哪一位。比如$h(10)=3$。由a是严格单调递增的条件我们可以知道，$h(a_{i+1})>=h(a_i)$。
然后我们利用b是严格单调递增的条件，$b_2=a_1⨁a_2,b_2>b_1$。可以知道$h(a_2)>h(a_1)$,如果$h(a_2)=h(a_1)$的话，那么异或之后这个最高位将会变成0，导致$b_2<b_1$。
同时我们也可以得出$h(b_2)=h(a_2)$。依次类推就可以得出$h(b_i)=h(a_i),h(a_{i+1})>h(a_i)$。

每一个$h(a_i)$都是不同的，且是严格递增的。那么在符合条件的数列中，只有一个$a_i$或者没有$a_i$满足$h(a_i)=v$。也就是只有一个或者没有$a_i$属于$[2^v,min(2^{v+1}-1,d)]$。只要从每一个数段中选出一个数，或者不选，这样组成的数列从小到大排序都是合法的。每一段有$min(2^{v+1}-1,d)-2^v+2$个选择。根据乘法原理就可求出总数，最后要减去每一个都不选形成的数列。

代码：

/**
* Author : Xiuchen
* Date : 2020-04-07-12.02.25
* Description : 乘法原理
*/
#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
//const int maxn = ;
int gcd(int a, int b)
    return b ? gcd(b, a % b) : a;

int t;
ll d, m;
int main()
    cin >> t;
    while(t--)
        cin >> d >> m;
        ll ans = 1 % m;
        for(int i = 0; i <= 31; i++)
            ll tmp = 1 << i;
            if(tmp > d) break;
            ll num = min((1ll << (i + 1)) - 1, d) - tmp + 2;
            ans = ans * num % m;
        
        cout << (ans - 1 + m) % m << endl;
    
    return 0;