蓝桥杯中常用的数学算法

Posted 2023-02-24 JunMain

文章目录

• 算数基本定义
• 质数
• • 试除法 $O(\\sqrtn)$
  • 朴素筛法求质数 $(nlog_n)$
  • 埃式筛法 $O(nlog_log_n)$ ~ $O(n)$
  • 线性筛法 $O(n)$
• 约数
• • 试除法求约数 $O(\\sqrtn)$
  • 求约数个数 $O(\\sqrtn)$
  • 求约数之和
  • 求最大公约数
  • 求最小公倍数
• 欧拉函数

算数基本定义

任何一个合数都可以写成，若干个质数相乘

$n=q_1^{B_1}\ast q_2^{B_2}\ast \cdot \cdot \cdot \ast q_n^{B_n}$ (n是一个合数， $q_i$是质数)

因此只要是一个合数我们就可以分解质因数,并且 n最多只有一个大于$\sqrt{n}$的质因子

分解质因数 $O(\sqrt{n})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()

	int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 2; i <= n / i; i ++)
    
        if (n % i == 0)
        
            int s = 0;
            while (n % i == 0)
            
                n /= i;
                s ++;
            
            cout << i << " " <<  s << endl;
        
    
    
    if (n > 1)	cout << n << " " << 1 << endl;
    
	return 0;

质数

质数是除了1和本身外不能被其他数字整除的数字

试除法 $O(\sqrt{n})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool is_prime(int n)

	if (n < 2) return false;
    
	for (int i = 2; i <= n / i; i ++)
        if (n % i == 0 )	return false;
    
    return true;



int main()

    int n;
    cin >> n;
    
    cout << is_prime(n);    
    
    return 0;

朴素筛法求质数 $(nlo{g}_n)$

利用筛法可以求出1 - n中的所有素数， 可以进行预处理

基本思路：把所有数字的倍数删掉，剩下的数字就是质数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000010;

bool st[N];
int prime[N], cnt;

int main()

    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    
        if (!st[i])
            prime[cnt ++] = i;
        for (int j = i; j <= n; j += i)		st[i] = true;
    
    
    return 0;

埃式筛法 $O(nlo{g}_{lo{g}_n})$ ~ $O(n)$

一个埃及人发明的筛法

根据算数基本定理：任何一个合数都是有若干个质数相乘,

我们可以优化上面的朴素筛法，每次去掉质数的倍数， 最后剩下的一定是素数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

bool st[N];
int prime[N], cnt;

int main()

    int n;
    cin >> n;
   
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    
        if (!st[i])
        
            prime[cnt ++] = i;
            for (int j = i; j <= n; j += i)		st = true;
        
    return 0;

线性筛法 $O(n)$

线性筛法的核心原理： 一个合数n只会被它的最小质因子筛掉

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000010;

bool st[N];
int prime[N], cnt;


int main() 

    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    
        if (!st[i])		prime[cnt ++] = i;
        
        for (int j = 0; prime[j] <= n / i; j ++)	//从小到大枚举所有质数
        
            st[prime[j] * i] = true;			//i%p[j]!=0	 p[j]一定小于i的所有质因子一定是 p[j]*i 的最小质因子
            if (i % prime[j] == 0)	break;		//i%p[j]==0  p[j]此时一定是i的最小质因子
        
    
        
    return 0;

约数

试除法求约数 $O(\sqrt{n})$

求 $n$ 的约数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> res;

int main()

    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n / i; i ++)
    
        if (n % i == 0)
        
            res.push_back(i);
            if (i != n / i )	res.push_back(n / i);	//特判 平方
        
    
    
    sort(res.begin(), res.end());
    
    
    return 0;

求约数个数 $O(\sqrt{n})$

算数基本定理：$n=q_1^{B_1}\ast q_2^{B_2}\ast \cdot \cdot \cdot \ast q_n^{B_n}$ (n是一个合数， $q_i$是质数)

公式： n的约数个数 = $(B_1+1)\ast (B_2+1)\ast \cdot \cdot \cdot \ast (B_n+1)$

int 范围内约数的个数最多在1500个左右

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

unordered_map<int,int> mp;

int ans = 1;

int main()

    int n; 
    cin >> n;
    
    for (int i = 2; i <= n / i; i ++)
    
        if (n % i == 0)
        
            while (n % i == 0)
            
                mp[i] ++;
                n /= i;
            
        
    
    
    if (n > 1)	mp[n] ++;
    
    for (auto m : mp)
        ans *= (m.second + 1);
    
    
    cout << ans;
    
    return 0;

求约数之和

算数基本定理：$n=q_1^{B_1}\ast q_2^{B_2}\ast \cdot \cdot \cdot \ast q_n^{B_{尽快收藏蓝桥杯常用算法模板}}$

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