Codeforces 577B Modulo Sum：数学 结论选数之和为m的倍数

Posted 2020-10-20 Leohh

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/448/C

题意：

　　给你n个数字，给定m。

　　问你是否能从中选出若干个数字，使得这些数字之和为m的倍数。

 

题解：

　　其实就是要找一些数字，使得之和mod m为0。

　　开一个vector，存当前已经能够构成的数字之和mod m之后的值。

　　一开始vector为空，然后枚举n个数字a[i]，对于每个数字枚举当前vector中的值v[i]，将没有出现过的(a[i]+v[i])%m值加入vector中。

　　最后判断下vector中有没有0就好。

　　然而直接做是O(nm)的过不了。

　　这时候就有一个结论：

　　　　当n>m时，一定能够找出一些数字，使得它们之和mod m为0。

　　证明：

　　　　令sum[i]为数字a[1 to i]的和mod m后的值。

　　　　显然，一定有一对(i,j)使得sum[i]==sum[j] (i<j)。

　　　　所以有∑ a[i+1 to j] mod m == 0。得证。

　　这样当n>m的时候特判一下直接输出，否则再跑上面的做法。

　　这样复杂度就成O(m^2)的了。

 

AC Code:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 #include <vector>
 5 #define MAX_M 1005
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int n,m;
10 int vis[MAX_M];
11 vector<int> v;
12 
13 int main()
14 {
15     cin>>n>>m;
16     if(n>m)
17     {
18         cout<<"YES"<<endl;
19         return 0;
20     }
21     memset(vis,false,sizeof(vis));
22     int x;
23     for(int i=1;i<=n;i++)
24     {
25         cin>>x;
26         x%=m;
27         for(int j=0,t=v.size();j<t;j++)
28         {
29             int now=(v[j]+x)%m;
30             if(!vis[now])
31             {
32                 v.push_back(now);
33                 vis[now]=true;
34             }
35         }
36         if(!vis[x])
37         {
38             v.push_back(x);
39             vis[x]=true;
40         }
41     }
42     if(vis[0]) cout<<"YES"<<endl;
43     else cout<<"NO"<<endl;
44 }