综合数论/因子分解/分块/莫比乌斯反演/树状数组HDU4947

Posted 2022-12-07 skywalker767

HDU-4947

题目链接:https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4947

队友刷数据结构发现的好题（指秃头）。

题目大意是这样的，给你一串长为$L$的数组，有如下操作:

1. $1ndv$，指$gcd(x,n)=d$的下标为$x$的$a_x$加上$v$
2. $2$ $x$求${\sum }_1^x{a}_i$

数据范围：
$$\begin{gathered} 1\le l \\ q\le 5e4 \\ 1\le n,d,v\le 2e5,1\le x\le l \end{gathered}$$
被坑辽，$l$的范围不是5e4,是2e5，第一次re辽
我们首思考一下暴力做法：对于$1$操作，我们转化一下，$gcd(x,n)=d$ 可以转化为$gcd(x/d,n/d)=1$，相当于什么呢？相当于：枚举$1$到$l$中与$n/d$互质的数乘$d$加上$v$，这样的时间复杂度如何呢？枚举所有与$n/d$互质的数的时间复杂度为：$O(n/d)$最坏情况为$O(n)$,对于操作$2$，我们可以用树状数组来做，那么这样我们发现，不考虑操作$2$，光是修改，我们的时间都不够用。

这样不可取，那我们考虑优化。
$$[gcd(x,n)=d]⟺[gcd(x/d,n/d)=1]$$
对于操作$1$，相当于在$1\le x\le l$满足的加上$v$，等价于：
$$\begin{gathered} [gcd(x/d,n/d)=1]\ast v \\ 利用莫比乌斯函数的性质去掉方括号 \\ \sum _{i|gcd(x/d,n/d)}\mu (i)\ast v \\ \sum _{i|\frac{x}{d}，i|\frac{n}{d}}\mu (i)\ast v \\ n/d已知，我们枚举n/d每一个因子p,p\ast d即为x. \\ ƒ(pd)=\sum _{pd|x}\mu (p)\ast v \end{gathered}$$
我们定义，
$$a_i=\sum _{d|i}f(d)$$
那么
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^x{a}_i=\sum _{i=1}^x\sum _{j|i}f(j) \\ \sum _{i=1}^x{a}_i=\sum _{i=1}^{x}f(i)[\frac{x}{i}] \end{gathered}$$
利用分块和树状数组就可以求出。

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define PI acos(-1)
#define mk make_pair
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(a) a.begin() , a.end()
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define pre(i, b, a) for (int i = (b); i >= (a); --i)
#define debug freopen("1.in", "r", stdin), freopen("1.out", "w", stdout);

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int , int > PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 10;

bool st[N];
LL tr[N];
int l , q;
vector<int> fact[N];
int primes[N] , mobius[N] , cnt , f[N];

int get(int n , int a) 
    return n / (n / a);


void add(int x , int  v) 
    for (int i = x;i <= l;i += lowbit(i)) tr[i] += v;


LL query(int x) 
    LL ans = 0;
    for (int i = x; i ; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
    return ans;


void init(int n) 
    mobius[1] = 1;
    for (int i = 以上是关于综合数论/因子分解/分块/莫比乌斯反演/树状数组HDU4947的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 数论入门——莫比乌斯函数,欧拉函数,狄利克雷卷积,线性筛,莫比乌斯反演,杜教筛
 莫比乌斯反演+树状数组+分块求和GCD Array
 bzoj 3309 DZY Loves Math —— 莫比乌斯反演+数论分块
 数论分块之整除分块
 从基础数论函数说起3：莫比乌斯反演
 数论18——反演定理（莫比乌斯反演）