Bellman-Ford算法

Posted 2023-03-29

参考技术A 贝尔曼-福特算法（英语：Bellman–Ford algorithm），求解单源最短路径问题的一种。它的原理是对图进行次松弛操作，得到所有可能的最短路径；因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第 n次操作仍可降低花销，就一定存在负权环。

必要入参：
节点数量：n
节点路径：path[][]
路径值：pv
起点：start
终点：end

一般过程：

2020-07-20

Bellman-ford 单源最短路径算法

参考技术A

参考： Bellman-Ford 单源最短路径算法
Bellman-ford 算法

Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径（SSSP：Single-Source Shortest Path）的算法
对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求图 G 中边的权值均为非负，而Bellman-ford能适应一般的情况（即 存在负权边 的情况）。

Bellman-ford 采用动态规划的方法，实现的时间复杂度为 O(V*E)，其中 V 为顶点数量，E 为边的数量。
Dijkstra 算法采用贪心算法的方法，普通实现的时间复杂度为 O(V^2)。若使用优先队列则时间复杂度为 O(E + VlogV)。

Bellman-Ford 算法描述：

对u节点到v节点的距离进行的松弛操作，如果到u的距离加上u到v的边小于到v的距离，那么可以缩短距离，更新之。

G：为一个图
w：权重二维数组，反映的是u到v的边的权重。

第一个双重for循环：循环V - 1次，对于每个边，都进行松弛操作
第二个for循环：检查是否有环。因为已经进行了V-1次循环了，理论上不应该可以松弛，但如果还有可以松弛的，说明存在负权环，返回False。

为什么要循环V-1次？
因为最短路径肯定是个简单路径，不可能包含回路，如果包含回路，但回路的权值和为正，也松弛不了，还是可以得到更短的路径。但如果回路的权值是负的，就可以一直松弛，那么肯定没有解。图有n个点，又不能有回路，所以最短路径最多n-1边（可以想象成一条线）。又因为每次循环至少松弛一条边，所以最多n-1次就行了。

一开始，源节点到自己的距离为0，到其他节点的距离为∞。
然后对于源节点的 邻接节点 ，比较从源节点加上边的和与其本身距离的值，若小，则更新。
以此类推，循环V - 1次（节点数减1次）
最后检查是否还可以松弛，如果可以，说明有环