Bellman-Ford算法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Bellman-Ford算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。

这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼(Richard Bellman, 动态规划的提出者)和小莱斯特•福特(Lester Ford)发明。

适用条件&范围:

 

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

 

Bellman-Ford算法的流程如下:
给定图G(V, E)(其中V、E分别为图G的顶点集与边集),源点s,数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0;

以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值;
若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;

为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman-Ford算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1到n-1(n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
d(v) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

 

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>

#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MAXN 1000005
using namespace std;

typedef struct Edge{
    int u,v;
    int cost;
}Edge;

int nodenum,edgenum,start;
Edge edge[MAXN];
int dist[MAXN],pre[MAXN];

bool Bellman_Ford()
{
    for (int i=1;i<=nodenum;i++)
        dist[i] = (i == start)?0:INF;
    for (int i=1;i<nodenum;i++)
    {
        for (int j=1;j<=edgenum;j++)
        {
            if (dist[edge[j].v] > dist[edge[j].u]+edge[j].cost)
            {
                dist[edge[j].v] = dist[edge[j].u]+edge[j].cost;
                pre[edge[j].v] = edge[j].u;
            }
        }
    }
    bool flag = 1;
    for (int i=1;i<=edgenum;i++)
    {
        if (dist[edge[i].v]>dist[edge[i].u]+edge[i].cost)
        {
            flag = 0;
            break;
        }
    }
    return flag;
}

void print_path(int root)
{
    while (root!=pre[root])
    {
        printf("%d->",root);
        root = pre[root];
    }
    if (root == pre[root])
        printf("%d\n",root);
}


int main()
{
    freopen("../in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&nodenum,&edgenum,&start);
    pre[start] = start;
    for (int i=1;i<=edgenum;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].cost);
    }
    if (Bellman_Ford())
    {
        for (int i=1;i<=nodenum;i++)
        {
            printf("%d\n",dist[i]);
            printf("Path:");
            print_path(i);
        }
    }
    else
        printf("have negative circle\n");
    return 0;
}

 

以上是关于Bellman-Ford算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

[算法学习]Bellman-Ford算法求最短路

最短路问题之Bellman-ford算法

算法笔记:图论中的单源最短路径算法——Bellman-Ford 算法

最短路之Bellman-ford算法java代码模板

Bellman-ford 单源最短路径算法

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