Bellman-Ford算法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Bellman-Ford算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。
这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼(Richard Bellman, 动态规划的提出者)和小莱斯特•福特(Lester Ford)发明。
适用条件&范围:
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统;
Bellman-Ford算法的流程如下:
给定图G(V, E)(其中V、E分别为图G的顶点集与边集),源点s,数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0;
以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值;
若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;
为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
Bellman-Ford算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1到n-1(n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
d(v) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
#include <stdio.h> #include <algorithm> #include <iostream> #include <stdbool.h> #include <stdlib.h> #include <string> #include <string.h> #include <math.h> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <map> #define INF 0x3f3f3f3f #define LL long long #define MAXN 1000005 using namespace std; typedef struct Edge{ int u,v; int cost; }Edge; int nodenum,edgenum,start; Edge edge[MAXN]; int dist[MAXN],pre[MAXN]; bool Bellman_Ford() { for (int i=1;i<=nodenum;i++) dist[i] = (i == start)?0:INF; for (int i=1;i<nodenum;i++) { for (int j=1;j<=edgenum;j++) { if (dist[edge[j].v] > dist[edge[j].u]+edge[j].cost) { dist[edge[j].v] = dist[edge[j].u]+edge[j].cost; pre[edge[j].v] = edge[j].u; } } } bool flag = 1; for (int i=1;i<=edgenum;i++) { if (dist[edge[i].v]>dist[edge[i].u]+edge[i].cost) { flag = 0; break; } } return flag; } void print_path(int root) { while (root!=pre[root]) { printf("%d->",root); root = pre[root]; } if (root == pre[root]) printf("%d\n",root); } int main() { freopen("../in.txt","r",stdin); scanf("%d%d%d",&nodenum,&edgenum,&start); pre[start] = start; for (int i=1;i<=edgenum;i++) { scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].cost); } if (Bellman_Ford()) { for (int i=1;i<=nodenum;i++) { printf("%d\n",dist[i]); printf("Path:"); print_path(i); } } else printf("have negative circle\n"); return 0; }
以上是关于Bellman-Ford算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章