Bellman-Ford算法

Posted 2020-12-31 mr94kevin

Bellman-Ford算法是一种单源最短路算法，允许图中有负边权。Bellman-Ford算法的效率相对较低，但是很容易编写，也很好理解。比较流行的SPFA算法其实就是他的队列优化。Bellman-Ford算法的流程大体是这样，先将源点的最短路设置为0，将其他结点的最短路设置为inf，然后进行n-1次迭代，每次检查每条边进行松弛操作，这样就得到了其他结点的最短路。而且可以检查是否存在负环，若n次迭代仍然可以进行松弛操作，则说明存在负环。不难看出时间复杂度是O(nm)的。怎么理解Bellman-Ford算法呢？不妨想想一棵最短路径树，根是源点，叶子结点是图中其他结点，叶子结点到根节点的路径就是其他结点的最短路。虽然这棵树一开始我们并不知道什么样子，但他是客观存在的。而Bellman-Ford算法就是逐层构造这棵最短路树，假设处理到了第i层，那么第i-1层已经处理完毕，那么扫描每一条边，看是否可以松弛，一定可以由第i-1层扩展到第i层。如果把源点看做第0层，那么这棵树最多有n-1层，因此迭代n-1次一定可以得到这棵最短路树（如果存在的话），那么如果第n次仍然可以进行松弛操作，说明不存在最短路（存在负环）。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cctype>
 3 #include<cstring>
 4 const int inf=0x3f3f3f3f;
 5 int n,m,s,d[maxn];
 6 struct edge {
 7     int u,v,w;
 8     edge(int u=0,int v=0,int w=-1):u(u),v(v),w(w) {}
 9 } E[maxm];
10 bool bellman() {
11     memset(d,inf,sizeof(d));
12     d[s]=0;
13     for(int i=1;i<=n;++i) //循环检查n次，正常情况下最多迭代n-1次，第n次用于判断是否存在最短路
14         for(int i=1;i<=m;++i) {
15             int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w;
16             if(d[v]>d[u]+w) { //松弛操作
17                 if(i==n) return false;
18                 else d[v]=d[u]+w;
19             }
20         }
21     return true;
22 }
23 int main() {
24     scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
25     int u,v,w;
26     for(int i=1;i<=m;++i) {
27         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
28         E[i]=edge(u,v,w);
29     }
30     if(!bellman()) printf("Wrong!");
31     else for(int i=1;i<=n;++i) {
32         if(i!=1) putchar(‘ ‘);
33         printf("%d",d[i]);
34     }
35     return 0;
36 }